《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.9 函数的综合问题与实际应用 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.9 函数的综合问题与实际应用（讲）
【考试要求】
能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
【高考预测】
（1）从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；
（2）函数的综合应用.
（3）常与二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇．
【知识与素养】
知识点 1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
.
(2)反比例函数模型：
y
＝(
k
≠0).
(3)二次函数模型：
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
，
b
，
c
为常数，
a
≠0).
(4)指数函数模型：
y
＝
a
·
bx
＋
c
(
b
>0，
b
≠1，
a
≠0).
(5)对数函数模型：
y
＝
m
log
ax
＋
n
(
a
>0，
a
≠1，
m
≠0).
【典例 1】（2021·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数 k”来刻画成年男子的高个子的程度，
他认为，成年男子身高 160 及其以下不算高个子，其高个子系数 k应为 0；身高 190 及其以上的是理
所当然的高个子，其高个子系数 k应为 1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数 k关于
身高 的函数关系式___________.
【总结提升】
1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋
势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数
大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0)．
3.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构
成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵
循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量
的范围，特别是端点．
知识点 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数
性质
y
＝
ax
(
a
>1)
y
＝log
ax
(
a
>1)
y
＝
xn
(
n
>0)
在(0，＋∞)
上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随
x
的增大逐渐表现为与
y
轴
平
行
随
x
的增大逐渐表现为与
x
轴
平行
随
n
值变化
而各有不同
值的比较 存在一个
x
0，当
x
>
x
0时，有log
ax
<
xn
<
ax
【典例 2】（四川高考真题）某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关
系 （ 为自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在 0 的保鲜时间设计192 小时，
在 22 的保鲜时间是 48小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 小时.
【重点总结】
解答函数应用题的一般步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模
型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【重点难点突破】
考点 1 一次函数与分段函数模型
【典例 3】（2021·江西南昌市·高三三模（文））某电影票单价 30 元，相关优惠政策如下：①团购 10 张票，
享受 9折优惠：②团购 30 张票，享受 8折优惠；③购票总额每满500 元减80 元．每张电影票只能享受一
种优惠政策，现需要购买 48 张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180 元B．1230 元C．1250 元D．1152 元
【规律方法】
1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．
2.分段函数模型的求解策略
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票
价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．
【变式探究】（2020·广东省高三其他（理））某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，
对贫困户实行购买饲料优惠政策如下：
（1）若购买饲料不超过 2000 元，则不给予优惠；
（2）若购买饲料超过 2000 元但不超过 5000 元，则按标价给予 9 折优惠；
（3）若购买饲料超过 5000 元，其 5000 元内的给予 9 折优惠，超过 5000 元的部分给予 7 折优惠.
某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：
方案一：分两次付款购买，分别为 2880元和 4850 元；
方案二：一次性付款购买.
若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（ ）元
A．540 B．620 C．640 D．800
考点 2 二次函数模型
【典例 4】（2020·北京高三期末）某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来
20
天内,这种水果
每箱的销售利润
r
(单位:元)与时间
1 20( ,t t t N 
,单位:天)之间的函数关系式为
110
4
r t 
, 且日销
售量
(单位:箱)与时间
t
之间的函数关系式为
120 2y t 
①第
4
天的销售利润为__________元;
②在未来的这
20
天中,公司决定每销售
1
箱该水果就捐赠
) ( *m m N
元给 “精准扶贫”对象.为保证销
售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间
t
的增大而增大,则
m
的最小值是__________．
【易错提醒】
二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．
【变式探究】（北京高考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用
率”，在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足函数关系 p=at2+bt+c（a，b，c 是常
数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
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