《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.9 函数的综合问题与实际应用 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.9 函数的综合问题与实际应用（讲）
【考试要求】
能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.
【高考预测】
（1）从实际问题中抽象出函数模型，进而利用函数知识求解；
（2）函数的综合应用.
（3）常与二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、数列、基本不等式及导数等知识交汇．
【知识与素养】
知识点 1．常见的几种函数模型
(1)一次函数模型：
y
＝
kx
＋
b
(
k
≠0)
.
(2)反比例函数模型：
y
＝(
k
≠0).
(3)二次函数模型：
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
，
b
，
c
为常数，
a
≠0).
(4)指数函数模型：
y
＝
a
·
bx
＋
c
(
b
>0，
b
≠1，
a
≠0).
(5)对数函数模型：
y
＝
m
log
ax
＋
n
(
a
>0，
a
≠1，
m
≠0).
【典例 1】（2021·山东滨州市·高三二模）某同学设想用“高个子系数 k”来刻画成年男子的高个子的程度，
他认为，成年男子身高 160 及其以下不算高个子，其高个子系数 k应为 0；身高 190 及其以上的是理
所当然的高个子，其高个子系数 k应为 1，请给出一个符合该同学想法 合理的成年男子高个子系数､k关于
身高 的函数关系式___________.
【答案】 ，(只要写出的函数满足在区间 上单调递增，且过点
和 即可.答案不唯一)
【解析】
由题意，个数越高，系数 越大，因此在 上的函数是增函数即可，初始值 ， ，
设出函数式代入求解．
【详解】
由题意函数 是 上的增函数，设 ， ，
由 ，解得 ，所以 ，
所以
故答案为：
注：在 上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如 ，
等等．
【总结提升】
1.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋
势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
2.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数
大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0)．
3.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构
成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．分段函数主要是每一段上自变量变化所遵
循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量
的范围，特别是端点．
知识点 2．指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
函数
性质
y
＝
ax
(
a
>1)
y
＝log
ax
(
a
>1)
y
＝
xn
(
n
>0)
在(0，＋∞)
上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快越来越慢相对平稳
图象的变化 随
x
的增大逐渐表现为与
y
轴
平
行
随
x
的增大逐渐表现为与
x
轴
平行
随
n
值变化
而各有不同
值的比较 存在一个
x
0，当
x
>
x
0时，有 log
ax
<
xn
<
ax
【典例 2】（四川高考真题）某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： ）满足函数关
系 （ 为自然对数的底数，k、b 为常数）。若该食品在 0 的保鲜时间设计192 小时，
在 22 的保鲜时间是 48小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 小时.
【答案】24
【解析】
由题意得：
¿
，所以
x=33
时，
y=e33 k+b=(e11 k)3⋅eb=1
8×192=24
.
【重点总结】
解答函数应用题的一般步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模
型；
③求模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
【重点难点突破】
考点 1 一次函数与分段函数模型
【典例 3】（2021·江西南昌市·高三三模（文））某电影票单价 30 元，相关优惠政策如下：①团购 10 张票，
享受 9折优惠：②团购 30 张票，享受 8折优惠；③购票总额每满 500 元减 80 元．每张电影票只能享受一
种优惠政策，现需要购买 48 张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ）
A．1180 元B．1230 元C．1250 元D．1152 元
【答案】A
【解析】
计算第③种方案的优惠折扣，可得先以第②种方案购票张，再以第③种方案购买 张可得答案.
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