《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.7 函数与方程 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.7 函数与方程（讲）
【考试要求】
1. 理解函数零点的概念.
【高考预测】
1.分段函数与函数方程结合；
2.二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.
3.常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定
参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.
【知识与素养】
知识点 1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数
y
＝
f
(
x
)，把使
f
(
x
)
＝
0
的实数
x
叫做函数
y
＝
f
(
x
)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程
f
(
x
)＝0 有实数根⇔函数
y
＝
f
(
x
)的图象与
x
轴
有交点⇔函数
y
＝
f
(
x
)有零点.
【典例 1】（安徽高考真题）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A．y=lnx B．C．y=sinx D．y=cosx
【答案】D
【详解】
选项 A： 的定义域为（0,+∞），故 不具备奇偶性，故 A错误；
选项 B： 是偶函数，但 无解，即不存在零点，故 B错误；
选项 C： 是奇函数，故 C错；
选项 D： 是偶函数，
且 ， ，故 D项正确.
知识点 2．零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② f(a)·f(b)<0；则函数 y＝f(x)在
(a，b)上存在零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是方程 f(x)＝0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连
续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
【典例 2】（北京高考真题）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为 ， ，所以由根的存在性定理可知：选 C.
【重点难点突破】
考点一：求函数的零点
例1.（2021 年浙江省高考数学试题）已知 ，函数 若 ，则
___________.
【答案】2
【解析】
由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值.
【详解】
，故 ，
故答案为：2.
例 2. （2021·全国高三其他模拟）设 ，定义符号函数 ，则方程
的解是（ ）
A．1 B．
C．1或D．1或 或
【答案】C
【解析】
根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.
【详解】
解：当 时，方程 可化为 ，
化简得 ，解得 ；
当 时，方程 可化为 ，无解；
当 时，方程 可化为 ，
化简得 ，解得 （舍去）或 ；
综上，方程 的解是 1或.
故选：C.
【总结提升】
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数 f(x)的零点就是 f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，
就是判断方程 f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数 y＝f(x)的零点⇔方程 f(x)＝0的实根⇔函数 y＝f(x)
的图象与 x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程 f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数 y＝f(x)的图象联系起来，图象与 x轴的交点的横坐标即为函数的零点．,
【变式探究】
1.（2020·上海高三三模）函数
2
, 1
( ) ( 2) , 1
x x
f x x x
 
�
，如果方程
( )f x b
有四个不同的实数解
1
x
、
2
x
、
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