《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.5 指数与指数函数 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.5 指数与指数函数（讲）
【考试要求】
1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.
3.了解指数函数的变化特征.
【高考预测】
1.指数幂的运算；
2.指数函数的图象和性质的应用；
3.除小题单独考查外，在大题中考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力
等
【知识与素养】
1.根式和分数指数幂
1．n次方根
定义 一般地，如果 xn＝a，那么 x叫做 a的__n
次方根 __，其中 n＞1，且 n∈N*
个数
n是奇数 a＞0x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0x＜0
n是偶数 a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0x不存在
2.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中
n
叫做根指数，
a
叫做被开方数.
(2)性质：
①()n＝a.
②＝
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是
a
＝(
a
>0，
m
，
n
∈N*，且
n
>1)；正数的负分数指数幂的意义是
a
－
＝(
a
>0，
m
，
n
∈N*，且
n
>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：
a
ra
s
＝
a r
＋
s
；(
ar
)
s
＝
a rs
；(
ab
)
r
＝
a r
b r
，其中
a
>0，
b
>0，
r
，
s
∈Q.
【典例 1】（2021·陕西西安市·高三其他模拟（理））已知 ，则
（ ）
A．120 B．210 C．336 D．504
2.指数函数及其性质
(1)概念：函数
y
＝
ax
(
a
>0 且
a
≠1)叫做指数函数，其中指数
x
是变量，函数的定义域是 R，
a
是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a
>1 0<
a
<1
图象
定义域 R
值域 (0 ， ＋∞ )
性质
过定点(0 ， 1) ，即
x
＝0 时，
y
＝1
当
x
>0 时，
y
>1
；
当
x
<0 时，0<
y
<1
当
x
<0 时，
y
>1
；
当
x
>0 时，0<
y
<1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
【典例 2】（2019·浙江高三专题练习）已知函数 ，当 时有 ，
则必有（ ）
A． ， ， B． ， ，
C．D．
【重点难点突破】
考点一 根式、指数幂的化简与求值
例1.（2019·浙江高三会考）计算
(
9
4
)
1
2=¿
( )
A．
81
16
B．
3
2
C．
9
8
D．
2
3
例2.（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越
薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制
作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 ， ， ．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片
的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
【规律方法】
化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺
序．
【变式探究】
1.计算：1.5－
1
3
×
7
6
 
 
 
0＋80.25×
4
2
＋(
3
2
×
3
)6－
2
3
2
3
 
 
 
2. 计算：
(
21
4
)
1
2−(−9.6)0−
(
8
27
)
2
3+
(
3
2
)
−2
．
【易错提醒】
1.根式：
（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．
（2）＝0(n＞1，且 n∈N*)．
（3）有限制条件的根式化简的步骤
2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，
如，a∈R，化成分数指数幂应为 a，a∈R，而a＝，则有 a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．
4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果
用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．
考点二：根式、指数幂的条件求值
例3.若，则 ___ ___.
例4.设
1 1
2 2
3x x
 
，求
1
x x
的值．
【总结提升】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
2 2 5
x x
 
8 8
x x
 
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