《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.4 二次函数与幂函数 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.4 二次函数与幂函数（讲）
【考试要求】
1.了解幂函数的概念．掌握幂函数
， 的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
【高考预测】
1．与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；要格外注意
“三个二次”的结合问题；
2．幂函数的图象与性质的应用.
【知识与素养】
知识点 1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α
的函数称为幂函数，其中 x是自变量，α为常数.
(2)常见的 5种幂函数的图象
(3)常见的 5种幂函数的性质
函数特征
性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0}
值域 R[0，＋∞)R[0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
【典例 1】（2021·浙江省杭州第二中学高一期末）幂函数 的图象经过点 ，则 _______
2
,y x y x 
3 1
,y x y x
 
1
2
1,y y x
x
 
【答案】
【解析】
由幂函数的定义可设 ，代入运算即可得解.
【详解】
由题意，设 ，
因为幂函数 的图象经过点 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
故答案为： .
【思路点拨】
幂函数 y＝xα的形式特点是“幂指数坐在 x的肩膀上”，利用待定系数法，先求幂指数，得到函数解析式，
进一步求函数值.
知识点 2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax 2
＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) .
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为( m ， n ) .
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)
值域
单调性 在上单调递减； 在上单调递增；
在上单调递增 在上单调递减
对称性 函数的图象关于 x＝－对称
【典例 2】（浙江高考真题）若函数 f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是 M，最小值是 m，则 M – m（
）
A．与 a有关，且与 b有关 B．与 a有关，但与 b无关
C．与 a无关，且与 b无关 D．与 a无关，但与 b有关
【答案】B
【解析】因为最值在 中取，所以最值之差一定与 无关，选
B．
【重点总结】
对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当
函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，
则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对
称轴较远的一端取得函数的最大值．
【重点难点突破】
考点 1 二次函数的解析式
例1.已知二次函数
f
(
x
)满足
f
(2)＝－1，
f
(－1)＝－1，且
f
(
x
)的最大值是 8，试确定该二次函数的解析式．
【答案】
f
(
x
)＝－4
x
2＋4
x
＋7
【解析】解法一　(利用“一般式”解题)
设
f
(
x
)＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为
f
(
x
)＝－4
x
2＋4
x
＋7.
解法二　(利用“顶点式”解题)
设
f
(
x
)＝
a
(
x
－
m
)2＋
n
(
a
≠0)．
∵
f
(2)＝
f
(－1)，
∴抛物线的对称轴为
x
＝＝，
∴
m
＝.
又根据题意，函数有最大值 8，∴
n
＝8，
∴
y
＝
f
(
x
)＝
a
2＋8.
∵
f
(2)＝－1，∴
a
2＋8＝－1，解得
a
＝－4，
∴
f
(
x
)＝－42＋8＝－4
x
2＋4
x
＋7.
2
(0) , (1) 1 , ( )
2 4
a a
f b f a b f b    
b
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