《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.3 函数的奇偶性与周期性 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.3 函数的奇偶性与周期性（讲）
【考试要求】
1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性..
【高考预测】
1.判断函数的奇偶性与周期性；
2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，浙江卷常通过三角
函数加以考查．
3.复习中注意：
（1）抽象函数的奇偶性与周期性；
（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；
（3）函数性质的综合应用问题.
【知识与素养】
知识点 1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那
么函数 f(x)是偶函数 关于 y
轴 对称
奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，
那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称
【典例 1】（2020·浙江高三期末）若函数 ， 定义域为 ，且都不恒为零，则
A．若 为周期函数，则 为周期函数
B．若 为偶函数，则 为偶函数
C．若 ， 均为单调递增函数，则 为单调递增函数
D．若 ， 均为奇函数，则 为奇函数
【答案】D
【解析】
举例说明 A，B，C错误；利用函数奇偶性的定义证明 D正确.
【详解】
选项 A: ， ， 为周期函数， 不是周期函数，故错误；
选项 B: ， ， 为偶函数， 不是偶函数，故错误；
选项 C: ， ， 不是单调函数，故错误；
选项 D: ，所以 为奇函数，故正确.
故选：D
【规律方法】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 与 是否具有相等关系或者相反关系.
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或
(偶函数)是否成立.
知识点 2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T )
＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
小正周期.
【典例 2】．（2021·陕西西安市·高三月考（文））已知函数 的定义域为实数集 ，对 ，有
成立，且 ，则
A．10 B．5 C．0 D．-5
【答案】D
【解析】
由题意可求出 周期为 ，可得 再利用已知条件即可求解.
【详解】
对 ，有 ，
 
f x
 
f x
 
0( )f x f x＋ － ＝
 
0( )f x f x-－ ＝
所以 ，
所以函数 的周期为 ，
所以 ，
对于
令 可得 ，所以 ，
即 ，
故选：D.
【重点总结】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如 y＝Asin(ωx＋φ)，用公式 T＝ 计算．
递推法：若 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期 T＝2a.换元法：若 f(x＋
a)＝f(x－a)，令 x－a＝t，x＝t＋a，则 f(t)＝f(t＋2a)，所以周期 T＝2a．
2．判断函数的周期只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与
函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：
若T是函数的周期，则 kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
【重点难点突破】
考点 1 函数奇偶性的判断
例1.（2020·浙江高三其他模拟）“ 是 R上的奇函数”是“对任意 均有 ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
首先根据 是 R上的奇函数得到 ，满足充分性，根据 ，不能推出
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