《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.2 函数的单调性与值域 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.2 函数的单调性与值域（讲）
【考试要求】
1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.
2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.
【高考预测】
以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、
确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性结合，有时与导数综合考查.
【知识与素养】
知识点 1．函数的单调性
（1）.增函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是减函数.
【典例 1】（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是（ ）
A． B．
y
= C． D．
【答案】A
【解析】
函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，故选
A
.
【规律方法】
复合函数单调性的确定方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个
I
 
D D I
1
x
2
x
1 2
x x
 
1 2
f x f x
 
f x
D
I
 
D D I
1
x
2
x
1 2
x x
 
1 2
f x f x
 
f x
D
简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．
知识点 2．函数的最值
1.最大值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 .
那么，我们称 是函数 的最大值.
2.最小值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 .
那么，我们称 是函数 的最小值.
【典例 2】已知
a>0
，函数
f(x)=
|
x2+
|
x−a
|
−3
|
在区间
[−1,1]
上的最大值是 2，则
a=¿
__________．
【答案】3 或
5
4
【解析】当
a ≥ 1
时，
=
¿x2−x+a−3∨¿
函数
y=x2−x+a−3(−1≤ x ≤ 1)
，对称轴为
x=1
2
，观察函数
f(x)=¿
¿x2−x+a−3∨¿
的
图像可知函数的最大值是
f(−1), f (1)或f(1
2)
.
令
f(−1)=¿1+1+a-3|=2∴a=3 或a=-1( 舍）
，经检验，a=3 满足题意.
令
f(1)=¿1- 1+a-3|=2∴a=5 或a=1
，经检验 a=5 或 a=1 都不满足题意.
令
f(1
2)=¿1
4-1
2+a-3|=2∴a= 5
4或a= 21
4
，经检验
a=21
4
不满足题意.
当
¿
时，
f(x)=
|
x2+x−a−3
|
,
函数
y=x2+x−a−3(−1≤ x ≤ 1)
，对称轴为
x=−1
2
，观察函数
f(x)=¿
¿x2+x−a−3∨¿
的图像得函数
 
y f x
I
M
x I
 
f x M
0
x I
 
0
f x M
M
 
y f x
 
y f x
I
m
x I
 
f x m
0
x I
 
0
f x m
m
 
y f x
的最大值是
f(1
2)=¿1
4-1
2-a-3|=2 ∴a=- 5
4¿
.
当
¿
时，
f(x)=
|
x2−x+a−3
|
,
函数
y=x2−x+a−3(−1≤ x ≤ 1)
，对称轴为
x=1
2
，观察函数
f(x)=¿
¿x2−x+a−3∨¿
的图像可知函数
的最大值是
f(−1)或f(1
2)
.
令
f(−1)=¿1+1+a-3|=2∴a=3( 舍） 或a=-1( 舍 ）
，
令
f(1
2)=¿1
4-1
2+a-3|=2∴a= 5
4（ 舍 ）或 a= 21
4（ 舍 ）
,所以
a=3或5
4
.
综上所述，故填 3 或
5
4
.
【总结提升】
求函数最值（值域）的常见方法：
1.单调性法： 利用函数的单调性:若 是 上的单调增(减)函数,则 , 分别是 在区
间 上取得最小(大)值,最大(小)值.
2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最
值.
3. 利用配方法:形如 型,用此 种方法,注意自变量 x 的范围.
4.利用三角函数的有界性,如 .
5.利用“分离常数”法:形如 y= 或 ( 至少有一个不为零)的函数,求其值域可
用此法.
6.利用换元法:形如 型,可用此法求其值域.
7.利用基本不等式法:
8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域
9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若
)(xf ],[ ba )(af
)(bf
)(xf
],[ ba
2
( 0)y ax bx c a  
sin [ 1,1],x 
cos [ 1,1]x 
ax b
cx d
2
ax bx e
ycx d
 
ca,
y ax b cx d  
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