《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题2.1 函数及其表示 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 函数
专题 2.1 函数及其表示（讲）
【考试要求】
1．了解函数、映射的概念，会求简单的函数的定义域和值域。
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法。
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题。
【高考预测】
1．分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
2．函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
3.通过确定函数的定义域考查函数概念的理解及函数的表示方法；
4.以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.
【知识与素养】
知识点 1．函数与映射的概念
函数 映射
两个集合
A，B
设A，B是两个
非空数集
设A，B是两个
非空集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系 f，
使对于集合 A中的任意一个数 x，
在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)
和它对应
如果按某一个确定的对应关系 f，使对
于集合 A中的任意一个元素 x，在集合
B中都有唯一确定的元素 y与之对应
名称 称f ： A → B
为从集合 A到集合 B的
一个函数
称f ： A → B
为从集合 A到集合 B的一个
映射
记法 函数 y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B
【典例 1】（2020·浙江宁波市·高三期中）给出下列四组函数：① ， ；②
， ；③ ， ；④
，.其中，表示相同函数的组的序号是（ ）
A．①③④ B．①② C．①③ D．①
【答案】C
【解析】
根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数.
【详解】
对于①： ， ，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于②： ， ，
两函数的定义域相同，对应关系不同，不是相同函数；
对于③： ， ，
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；
对于④： ， ，
两函数的定义域相同，对应关系不同，不是相同函数；
故选：C.
【易混辨析】
判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
知识点 2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做
函数值，函数值的集合 { f ( x )| x ∈ A } 叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
【典例 2】（广东高考真题）函数 的定义域是______．
【答案】
【解析】
由根式内部的代数式大于等于 0且分式的分母不等于 0联立不等式组求解 x的取值集合得答案．
【详解】
由 ，得 且 ．
函数 的定义域为： ；
故答案为 ．
【总结提升】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若
f
(
x
)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的
取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数
f
(
x
)的定义域为[
a
，
b
]，则复合函数
f
(
g
(
x
))的定义域由
a
≤
g
(
x
)≤
b
求出．
(2)若已知函数
f
(
g
(
x
))的定义域为[
a
，
b
]，则
f
(
x
)的定义域为
g
(
x
)在
x
∈[
a
，
b
]时的值域．
知识点 3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段
函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几
个部分组成，但它表示的是一个函数.
【典例 3】（2021·浙江高三专题练习）已知函数 ，则 ___________ .
【答案】
【解析】
推导出 （3） （1） ，由此能求出结果．
【详解】
函数 ，
（3） （1） ．
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