《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题1.2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件 （讲）原卷版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 集合与常用逻辑用语
专题 1.2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件（讲）
【考试要求】
1．理解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.
2．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.
3．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、
充要条件.
【高考预测】
命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的
判定．从近 5年命题看，其在试卷中选择题的位置基本稳定在前 5 、6小题.
【知识与素养】
知识点 1．命题及其关系
（1）命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命
题，判断为假的语句叫假命题．
（2）四种命题及相互关系
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
【典例 1】设
α , β
是方程
x2−x−1=0
的两个不等实根，记
an=αn+βn(n∈N¿)
.下列两个命题：
①数列
{an}
的任意一项都是正整数；
②数列
{an}
第 5 项为 10. ( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【规律方法】
1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不
同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系
确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
知识点 2．逻辑联结词
（1）用联结词“且”联结命题 p和命题 q，记作____，读作______”．
（2）用联结词“或”联结命题 p和命题 q，记作_____，读作“ ____” ．
（3）对一个命题 p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“ _____ ”．
（4）命题 p且q、p或q、非 p的真假判断
【典例 2】（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线 l平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【重点总结】
1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，
因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．“p q”“p q”“ p”形式命题真假的判断步骤：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题 p、q的真假；
（3）确定“p q”“p q”“ p”形式命题的真假．
3．含逻辑联结词命题真假的等价关系
 
 
（1）p q 真⇔p,q至少一个真⇔(p) ( q)假.
（2）p q 假⇔p,q均假⇔(p) ( q)真.
（3）p q 真⇔p,q均真⇔(p) ( q)假.
（4）p q 假⇔p,q至少一个假⇔(p) ( q)真.
（5）p真⇔p假; p假⇔p真.
4．命题 p且q、p或q、非 p的真假判断规律：p q 中p、q有一假为假，p q 有一真为真，p与非 p必定
是一真一假．
知识点 3．充分条件与必要条件
(1)如果 p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果 p⇒q，q⇒p，则 p是q的充要条件．
【典例 3】（2020·天津高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若
,p q q p 
，则
是
q
的充分而不必要条件；若
,p q q p 
，则
是
q
的必要而
不充分条件；若
,p q q p 
，则
是
q
的充要条件； 若
,p q q p 
，则
是
q
的既不充分也不
必要条件.
(2)等价法：即利用 与 ； 与 ； 与 的等价关系，对于条
件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题 p的集合为 M，满足命题 q的集合为 N，则 M是N的真
子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和
q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是 q的充分条件也不是 q的必要条件
【重点难点突破】
考点 1 四种命题的关系及真假判断
例1.以下命题为假命题的是(　　)
A．“若 m＞0，则方程 x2＋x－m＝0 有实数根”的逆命题
B．“面积相等的三角形全等”的否命题
 
 
p q
q p
 
q p
p q
 
p q
q p
 
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