《高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）》专题1.2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件 （讲）解析版

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2022 年高考数学一轮复习讲练测（新高考·浙江）
第一章 集合与常用逻辑用语
专题 1.2 命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件（讲）
【考试要求】
1．理解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系.
2．了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义.
3．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、
充要条件.
【高考预测】
命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的
判定．从近 5年命题看，其在试卷中选择题的位置基本稳定在前 5 、6小题.
【知识与素养】
知识点 1．命题及其关系
（1）命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命
题，判断为假的语句叫假命题．
（2）四种命题及相互关系
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
【典例 1】设
α , β
是方程
x2−x−1=0
的两个不等实根，记
an=αn+βn(n∈N¿)
.下列两个命题：
①数列
{an}
的任意一项都是正整数；
②数列
{an}
第 5 项为 10. ( )
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】A
【解析】
因为
α , β
是方程
x2−x−1=0
的两个不等实根，所以
1，
αβ =−1
，
因为
an=αn+βn
，
所以
an+1=αn+1+βn+1=
(
αn+βn
)
α+
(
αn+βn
)
β−βnα−αnβ=
(
αn+βn
)
(
α+β
)
−αβ
(
αn−1+βn−1
)
=
(
αn+βn
)
+
(
αn−1+βn−1
)
=an+an−1
即当
n ≥ 3
时，数列
{an}
中的任一项都等于其前两项之和，
又
a1=α+β=¿
1，
a2=α2+β2=(α+β)2−2αβ=3
，所以
a3=a2+a1=4
，
a4=a3+a2=7
，
a5=a4+a3=11
，
以此类推，即可知：数列
{an}
的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选 A.
【规律方法】
1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不
同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系
确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
知识点 2．逻辑联结词
（1）用联结词“且”联结命题 p和命题 q，记作____，读作______”．
（2）用联结词“或”联结命题 p和命题 q，记作_____，读作“ ____” ．
（3）对一个命题 p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“ _____ ”．
（4）命题 p且q、p或q、非 p的真假判断
【典例 2】（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线 l平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真假；利用异面直线
可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题 为假命题；
对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
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