《高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题》秒杀题型09 圆锥曲线中的中点弦（解析版）

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秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题：
秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题：
注：方程： ，①当 且 时，表示椭圆；
②当 且 时，表示圆；
③当 异号时，表示双曲线。
秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线 与曲线： 交于两点
、 ， 中点为 ，则有 既在直线上又在曲线上，设 ,
，
Step2：代入点坐标：即 ; ,
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得： 。(作为公式记住，在小题中直接用。)
题型一：求值 ：
〖母题 1〗已知椭圆 ,求以点 P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程.
【解析】:由结论可得： ，得 ，直线方程为： 。
1.(2013 年新课标全国卷I10)已知椭圆 的右焦点为 ,过点 的直线交椭圆
于 两点.若 的中点坐标为 ,则 的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得： ，得 ， ，选 D。
2.(2010 年新课标全国卷 12)已知双曲线 的中心为原点,是
的焦点,过 的 直 线 与
相交于
两 点 ,且 的中点为 ,则
的方程为 ( )
A. B. C. D.
【解析】:由结论可得： ，得 ， ，选 B。
3.(高考题)已知倾斜角为 的直线 过点 和点 ,在第一象限, .
（1）求点 的坐标;
（2）若直线 与双曲线 相交于 、 两点,且线段 的中点坐标为 ,
求 的值.
【解析】:(1) 4， ，点 B的坐标为 。
(2)点差法：step1：设直线与曲线 ：设直线 与曲线 交于两点
E、F，EF 中点为（4，1），则有 E、F既在直线上又在曲线上；
Step2：代入点坐标：即 ； ；
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得： ，代入点 ，得 。
4.(2015 年新课标全国卷II20)已知椭圆 ,直线 不过
原点 且不平行于坐标轴,
与 有两个交点 ,线 段
的中点为 .
（1）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定
值；
（2） 若 过 点 ,延 长 线 段
与 交于点 ,四边形
能否平行四边行？若能,求此时 的
斜率,若不能,说明理由.
【解 析 】:（1） 点 差 法 ： step1 ： 设 直 线 与 曲 线 ： 设 直 线 与 曲 线
交 于 两 点 、 ，
中 点 为 ， 则 有 既
在直线上又在曲线上，设 ,；
Step2：代入点坐标：即 ； ；
Step3：作差得出结论：（1）-（2）得： ；
（2）设 的斜率为 ，由 ①，②，联立得 ，得 ，
代入椭圆中得：
， ， ，即存在。
5.(高考题)已知椭圆 的焦点分别为 和 ,长轴长为 6,设直线 交椭圆 于
两点,求线段 的中点坐标.
【解析】:法一：同上，作差得出中点的一个关系，又中点在直线上，解方程组得中点坐标为：：
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