《高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题》秒杀题型08 圆锥曲线中的焦点弦（解析版）

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说明：圆锥曲线中的焦点弦问题是高考考查的一个重要且属于大考点，要求考生必须熟练掌握其试题特点
试题答题模板。
焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点 A、B，弦 AB 叫做曲线的焦点弦。
秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：
①焦 点 弦 长 公 式 ： (为 直 线 与 焦 点 所 在 轴 的 夹 角 )， 通 径 ：
(最短焦点弦)；
〖母题 1〗经过椭圆 的左焦点 作倾斜角为 的直线
,直线 与椭圆相交于 A,B 两点,求AB 的长.
【解析】：代入焦点弦长公式得： 。
1.(2017 年新课标全国卷I) 已知 是双曲线 的右焦点,是
上一点,且 与 轴垂直,点 的坐标是 .
则 的面积为 (　　　)
A. B. C. D.
【解析】： ，而 P（2，0）， ，选 D。
2.(2008 年新课标全国卷)过椭圆 的右焦点作一条斜率为 2的直线与椭圆交于
两点,为坐标原点,则 的面积为 .
【解析】：法一：利用弦长公式（一般弦长公式）求出 ，再利用 到
直 线 距 离 求 出 高 ， 可 求 出 三 角 形 的 面 积 ； 由 焦 点 弦 长 公 式 得 ： ， ，
。
法 二 ： 直 线 方 程 为 ： ， 与 椭 圆 联 立 可 得 两 个 交 点 的 坐 标
,，从图中可直观得到
。
②焦点弦被焦点分成两部分 ，则 (定值)(取通径即可)。
1.(高考题)设
21,FF
分别是椭圆
)10(1: 2
2
2b
b
y
xE
的左、右焦点,过点
1
F
的直线交椭圆
E
于
BA,
两
点,若
xAFBFAF 211 ,3
轴,则椭圆
的方程为 .
【解析】：设 ，则有 ,，=
，得 。
③，则有 (为直线与焦点所在轴的夹角)。
2.(2010 年辽宁卷)设椭圆 的左焦点为 ,过点 的直线与椭圆 相交
于 两点,直线 的倾斜角为 , .
（1）求椭圆 的离心率;
（2）如果 ,求椭圆 的方程.
解析:（1）设 ，由题意知 ＜0， ＞0，直线 l的方程为 ，
联立 得 ，得 ，
因为 ，所以 ，得 。
秒杀方法：由秒杀公式得： 。
（2）因为 ，由 得 ，所以 ，得 a=3， ，椭圆 C的
方程为 。
秒杀方法： = = ，即 ， ，得 ，即 ，
，椭圆 C的方程为 。
秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：
①过 抛 物 线 焦 点 的 直 线 交 抛 物 线 于 、 两 点 ， 则 :
,。(焦点在
轴上的性质对比给出。)
引 伸 :在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 ， 过
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