《高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题》秒杀题型07 圆锥曲线中的直角弦（解析版）

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说明：圆锥曲线中的直角弦问题是高考考查的一个重要且属于大考点，要求考生必须熟练掌握其试题特点、
试题答题模板。
直角弦定义：直线与曲线相交于两点 A、B，若存在点 P，使得 PA PB，由弦 AB 叫做相对于点 P的直角
弦。
直角弦有三种考法：
①.PA PB 以AB 为直径的圆过点 P；
②APB 是钝角 点 P在以 AB 为直径的圆内 ；
③APB 是锐角 点 P在以 AB 为直径的圆外 ；
答题规范模板:
方法一答题规范模板：
①设直线 的方程；
②直线与曲线联立，整理成关于 (或)的一元二次方程；
③写出根与系数的关系；
④利用 ，把根与系数的关系代入。
方法二答题规范模板：
①设直线 的方程；
②直线与曲线联立，整理成关于 (或)的一元二次方程；
③利用根与系数的关系求出点 的坐标，把点 的坐标中的 换为 得到点 的坐标；
④由两点式求出 的方程，进而求出恒过的定点。
秒杀题型一：椭圆中的直角弦：
①椭圆与双曲线中相对于曲线中心的直角弦：直线 与曲线 交于 两点，若 (
为曲线中心)，则称 为相对于中心 的直角弦,由 ，得秒杀结论 ：中心 到直线
的距离为定值： 。(如为其它点,亦利用数量积等于零)
〖母题 1〗若椭圆 与直线 交于点 ;点 为
的中点,直线 (为原点)的
斜率为 ,又,求椭圆的方程.
【解析 】：step1：直线与曲线联立：直线 与椭圆 联立： ，
化简得： ；
step2 ： 写 出 根 与 系 数 的 关 系 ： 设 交 点 A、B， 由 韦 达 定 理 得 ： ，
；
Step3 ： 利 用 ： 由 ， ， 得 ① ， M
， 得 ②， 。
秒杀方法：由点到直线的距离 =，得 。
1.(2008 年新课标全国卷 20)在直角坐标系 中,椭圆 的左、右焦点分别为 、
,也是抛物线 的焦点,点 为 与 在第一象限的交点,且.
（1）求 的方程;
（2）平面上的点 满足 直线 ,且与 交于 、 两点,
若,求直线 的方程.
【解析 】 ： （1） ，代入抛物线得 ，M到
距 离 之 和 为 ， 得 :
；
（2）由 ，所以 ，
step1：设直线方程：设 : ;
Step2：直线与曲线联立：直线 与椭圆 联立： ，化简得：
；
Step3：写出 根 与 系 数 的关系：设交点 A、B， 由 韦 达 定 理得 ： ，
；
Step4：利用 ：由 ， ，得 ，
秒杀方法：由点到直线的距离 得 。
②相对于其它点的直角弦： 上一点 ，过 作互相垂直的两条直线 ，与椭
圆交于 两点，则 恒过定点 。
1.(2014 年辽宁卷)圆 的切线与 轴正半轴、 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形
面积最小时,切点为 (如图),双曲线 过点 且离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）椭圆 过点 且与 有相同的焦点,直线 过 的右焦点且与
交于 两点,若以线段 为直径的圆过点 ,求 的方程.
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