《高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题》秒杀题型06 直线与圆锥曲线的位置关系（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 19 4 492.5KB 7 页 3知币
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说明：圆锥曲线试题基本上都参与直线与圆锥曲线的位置关系，所以直线与圆锥曲线的位置关系这一考点
既是解决问题的基础，又是解决问题的关键。
直线与曲线位置关系在解答题中的步骤规范模板：
答题规范模板:
Step1:设直线方程：
原则：注意设直线的技巧：
①当斜率不存在的直线不满足，斜率为零的直线满足时，一般设为 ；
②当斜率为零的直线不满足,斜率不存在的直线满足时,一般设为 ；
③两类直线均满足或均不满足时,两种设法均可,但两类直线均满足时,注意要对取不到的直线补充验证.)；
Step2：直线与曲线联立,整理成关于 (或)的一元二次方程；
Step3：写出根与系数的关系（如果求范围或直线与曲线不是恒有公共点,则写出 ）；
Step4：转化已知条件，转化为两根的关系；
Step5：把根与系数的关系代入转化的条件中。
※注：若题目中不涉及根与系数，则 step4\step5 可省略。
弦长公式：
秒杀思路：弦长：相交中两交点的距离。
弦长公式：直线与曲线联立，若消去 ，转化为关于 的一元二次方程， 则弦长=
；如果消 ，则转化为关于 的一元二次方程:则弦长=。
秒杀题型一：直线与椭圆的位置关系：
秒杀思路：直线 ,椭圆 : ;
判定方法:法:直线与椭圆方程联立:。
1.(高考题)已知中心在坐标原点 O的椭圆 C经过点 A（2，3），且点 F（2，0）为其右焦点。
（1）求椭圆 C的方程；
（2）是否存在平行于 OA 的直线 ，使得直线 与椭圆 C有公共点，且直线 OA 与 的距离等于 4？若存在，
求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。
【解析】：(1)c=2，设椭圆方程为： ，代入点 A得椭圆方程为 ;
法二：（最佳方法）左焦点为(-2,0)，则 A到两焦点距离分别为：3、5；所以 2a=8，a=4，所以椭圆方程为
;
(2) step1：设直线：假设存在符合题意的直线 ，其方程为 ；
Step2：直线方程与椭圆方程联立：由 得 ；
Step3：判别式：因为直线 与椭圆有公共点，所以有 ，解得 ；
Step4：利用已知 条件：由直线 OA 与 的距离 4可得： ，从 而 ，由于
，所以符合题意的直线 不存在。
2.(高考题)已知椭圆 (
a
＞ ＞0)的离心率
3
2
e
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4。
(1)求椭圆的方程：
(2)设直线 与椭圆相交于不 同的两点
,A B
.已知点 的坐标为(-
a
，0)，点 (0，
0
y
)在线段 的垂直平
分线上，且
QA QB
              
=4。求 的值。
【解析】：(1)由ab=2， ，得椭圆的方程为： ;
（1)step1 ：设直线：A（-2,0 ）。设 B点的坐标为（x1,,y1）,直 线 l的斜率为 k，则直线 l的方程为
y=k(x+2)；
Step2：直线方程与椭圆方程联立：由 ,由方程组消去 并整理，得
；
Step3：韦达定理：由 ，则有 得 设线段 AB 的中
点为 M，则 M的坐标为 ；
Step4：把根与系数的关系代入转化的条件中：
以下分两种情况：
（1）当 k=0 时 ， 点 B的 坐 标 为 （ 2,0 ） 。 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 为 y轴 ， 于 是
;
（2）当 K时，线段 AB 的垂直平分线方程为 令 x=0，解得
由
；整理
得 。
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