《高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题》秒杀题型04 离心率（椭圆与双曲线）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 15 4 1.01MB 13 页 3知币
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说明：离心率在高考中属于高频考点，部分考题难度较大，要求考生熟练掌握以下类型。
秒杀题型一：利用焦点三角形求离心率。
秒杀思路：利用定义，求出 。
秒杀公式：椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为 、 ，则 (正弦定理)。
双曲线：利用焦点三角形两底角 来表示:。
1.(高考题)在平面直角坐标系 中,已知 顶点 和 ,顶点 在椭圆 上,则
　　　　.
【解析】：秒杀公式： 。
2.(2013 年新课标全国卷II)设椭圆 的左、右焦点分别为 ,是 上的点,
, ,则 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】：设 ， ，则 ，即 ， ， ，选
D。
秒杀公式： ，选 D。
3.(高考题)已知 是椭圆的两个焦点,过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 两 点,若是正三
角形,则这个椭圆的离心率是 ( )
A.
3
3
B.
3
2
C.
2
2
D.
2
3
【解析】： 与上题完全相同，选 A。
4.(高考题)双曲线 (
0a
,
0b
)的左、右焦点分别是
1 2
,F F
,过
1
F
作倾斜角为
的直线交双曲
线右支于
M
点,若
2
MF
垂直于
x
轴,则双曲线的离心率为 ( )
A.
6
B.
3
C.
2
D.
【解析】：设 ， ，则 ，即 ， ， ，选
B。
秒杀公式： ，选 B。
5.(高考题)设椭圆的两个焦点分别为 ,过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ,若 为等腰直角三
角形,则椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】： ， ，则 ，即 ，
，选 D。
秒杀公式： ，选 D。
6.(高考题)已知正方形 ,则以 为焦点,且过 两点的椭圆的离心率为 .
【解析】：取一个焦点三角形，同上题， 。
7.(2013 年辽宁卷)已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
的左焦点为
F
,
C
与过原点的直线相交于
BA,
两点,
连接
BFAF,
.若
6,10 AFAB
,
5
4
cos ABF
,则
C
的离心率
e
= .
【解析】：由余弦定理得
2 2 2
4
6 | | 10 2 10 | | 5
BF BF  
，得
| | 8BF
，
A到右焦点的距离也是 8，
由椭圆定义：
2 6 8 14a  
，
2 10c
，
10 5
14 7
e 
。
8.(2016 年新课标全国卷II11)已知
21,FF
是双曲线
2 2
2 2
: 1
x y
Ea b
 
的左、右焦点,点
M
在
E
上,
1
MF
与
x
轴垂
直,
2 1
1
sin 3
MF F 
,则
E
的离心率为 ( )
A.
2
B.
2
3
C.
3
D.
2
【解析】：设
1
1MF
，则 ， ，
22 12 MFMFa
，
2e
，选 A。
秒杀公式： ，选 A。
9.(2018 年新课标全国卷II文)已知 ,是椭圆 的两个焦点,是 上的一点,若,
且,则 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】：设 ，则 ， ，选 D。
秒杀公式： ，选 D。
10.(高考题)椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y a b
a b
 
的左、右焦点分别为
1 2
,F F
,焦距为 ,若直线
3( )y x c 
与
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