《高考数学(理)选考与统计部分二轮专项提升》专题06不等式选讲（解析版）

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《2020 年数学（理）选考与统计部分二轮专项提升》
专题 06 不等式选讲
一、 高考题型特点：
这部分属于高考必考内容，全国卷考一道大题，属于选考，占 10 分，难度中等偏下。
二、重难点：
1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．
2．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．
3.证明不等式的方法和技巧：
(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至
多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用
数学归纳法等．
(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对
值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的
几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放
缩的依据．
三、易错注意点：
1.可以利用绝对值三角不等式定理|
a
|－|
b
|≤|
a
±
b
|≤|
a
|＋|
b
|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．
2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.
3.在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时
等号是否成立.
四、典型例题：
例 1.（2019 全国 I 理 23）[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知
a
，
b
，
c
为正数，且满足
abc
=1．证明：
（1）
2 2 2
1 1 1 a b c
abc
  
；
（2）
3 3 3
( ) ( ) ( ) 24a b b c c a  
．
【解析】（1）因为
2 2 2 2 2 2
2 , 2 , 2a b ab b c bc c a ac  
，又
1abc
，故有
2 2 2
1 1 1ab bc ca
a b c ab bc ca abc a b c
 
 
.
所以
2 2 2
1 1 1 a b c
a b c
  
.
（2）因为
, , a b c
为正数且
1abc
，故有
=3( + )( + )( + )a b b c a c
3 (2 ) (2 ) (2 )ab bc ac 
=24.
所以
3 3 3
( ) ( ) ( ) 24a b b c c a  
.
例 2. （2019 全国 II 理 23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知
( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a 
（1）当
1a
时，求不等式
( ) 0f x
的解集；
（2）若
( ,1)x 
时，
( ) 0f x
，求
a
的取值范围.
【解析】（1）当
a
=1 时，
( )=| 1| +| 2|( 1)f x x x x x  
.
当
1x
时，
2
( ) 2( 1) 0f x x 
；当
1x
时，
( ) 0f x
.
所以，不等式
( ) 0f x
的解集为
( ,1)
.
（2）因为
( )=0f a
，所以
1a
.
当
1a
，
( ,1)x 
时，
( )=( ) +(2 )( )=2( )( 1)<0f x a x x x x a a x x    
所以，
a
的取值范围是
[1, )
.
例 3.（2019 全国 III 理 23）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
设
, ,x y z R
，且
1x y z  
.
（1）求
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)x y z  
的最小值；
（2）若
2 2 2
1
( 2) ( 1) ( ) 3
x y z a  
成立，证明：
3a 
或
1a 
.
【解析】（1）由于
2
[( 1) ( 1) ( 1)]x y z 
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1) 2[( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)]x y z x y y z z x    
2 2 2
3 ( 1) ( 1) ( 1)x y z
 
 
 
，
故由已知得
2 2 2
4
( 1) ( 1) ( 1) 3
x y z  
，
当且仅当
x
=
5
3
，
y
=–
1
3
，
1
3
z 
时等号成立．
所以
2 2 2
( 1) ( 1) ( 1)x y z  
的最小值为
4
3
.
（2）由于
2
[( 2) ( 1) ( )]x y z a  
2 2 2
( 2) ( 1) ( ) 2[( 2)( 1) ( 1)( ) ( )( 2)]x y z a x y y z a z a x  
2 2 2
3 ( 2) ( 1) ( )x y z a
 
 
 
�
，
故由已知
2
2 2 2
(2 )
( 2) ( 1) ( ) 3
a
x y z a
  �
，
当且仅当
4
3
a
x
，
1
3
a
y
，
2 2
3
a
z
时等号成立．
因此
2 2 2
( 2) ( 1) ( )x y z a  
的最小值为
2
(2 )
3
a
．
由题设知
2
(2 ) 1
3 3
a�
，解得
3a�
或
1a�
．
例 4．(2018 全国卷Ⅰ)[选修 4–5：不等式选讲]（10 分）
已知
( ) | 1| | 1|f x x ax 
．
(1)当
1a
时，求不等式
( ) 1f x
的解集；
(2)若
(0,1)x
时不等式
( )f x x
成立，求
a
的取值范围．
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