《高考数学(理)选考与统计部分二轮专项提升》专题05坐标系与参数方程（解析版）

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《2020 年数学（理）选考与统计部分二轮专项提升》
专题 05 坐标系与参数方程
一、 高考题型特点：
这部分属于高考必考内容，全国卷考一道大题，属于选考，占 10 分，难度中等偏下。
二、重难点：
1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式
ρ
cos
θ
＝
x
，
ρ
sin
θ
＝
y
，
ρ
2＝
x
2＋
y
2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以
ρ
等．
2.直角坐标(
x
，
y
)化为极坐标(
ρ
，
θ
)的步骤：
(1)运用
ρ
＝，tan
θ
＝(
x
≠0)；
(2)在[0，2π)内由 tan
θ
＝(
x
≠0)求
θ
时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限 (即
θ
的终边位
置)．
3.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．
4．将参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，化生为熟，体现了化归与转化思想．
三、易错注意点：
1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．
2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定
ρ
≥0，0≤
θ
＜
2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．
3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：
(1)注意
ρ
，
θ
的取值范围及其影响．
(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.
4.将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意
x
，
y
的取值范围，保持等价转化．
5．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范
围去掉多余的解.
四、典型例题：
例 1..（2019 全国 I 理 22）[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
2
2
2
1
1
4
1
t
xt
t
yt
，
（
t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，
x
轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0
 
 
．
（1）求
C
和
l
的直角坐标方程；
（2）求
C
上的点到
l
距离的最小值．
【解析】（1）因为
2
2
1
1 1
1
t
t
 
，且
 
2
22 2
2
2
22
1 4 1
2 1 1
y t t
xtt
 
 
 
 
 
 
，所以
C
的直角坐标方程为
2
21( 1)
4
y
x x  
.
l
的直角坐标方程为
.
（2）由（1）可设
C
的参数方程为
cos ,
2sin
x
y
（
为参数，
π π
 
）.
C
上的点到
l
的距离为
π
4cos 11
| 2cos 2 3 sin 11| 3
7 7
 
 
 
 
   
.
当
2π
3
 
时，
π
4cos 11
3
 
 
 
 
取得最小值7，故
C
上的点到
l
距离的最小值为
7
.
例 2.（2019 全国 II 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，
O
为极点，点
0 0 0
( , )( 0)M
 
在曲线
: 4sinC
 
上，直线
l
过点
(4,0)A
且与
OM
垂直，垂足为
P
.
（1）当
0=3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当
M
在
C
上运动且
P
在线段
OM
上时，求
P
点轨迹的极坐标方程.
【解析】（1）因为
 
0 0
,M
 
在
C
上，当
0
3
时，
0
4sin 2 3
3
 
.
由已知得
| | | | cos 2
3
OP OA
 
.
设
( , )Q
 
为
l
上除
P
的任意一点.在
Rt OPQ△
中
cos | | 2
3OP
 
 
 
 
 
，
经检验，点
(2, )
3
P
在曲线
上.
所以，
l
的极坐标方程为
.
（2）设
( , )P
 
，在
Rt OAP△
中，
| | | | cos 4cos ,OP OA
 
 
即
4cos
 
.
因为
P
在线段
OM
上，且
AP OM
，故
的取值范围是
,
4 2
 
 
 
 
.
所以，
P
点轨迹的极坐标方程为
4cos , ,
4 2
 
 
 
 
.
例 3.（2019 全国 III 理 22）[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
如图，在极坐标系
Ox
中，
(2,0)A
，
( 2, )
4
B
，
( 2, )
4
C
，
(2, )D
，弧
AB
，
BC
，
CD
所在圆的圆
心分别是
(1,0)
，
(1, )
2
，
(1, )
，曲线
1
M
是弧
AB
，曲线
2
M
是弧
BC
，曲线
3
M
是弧
CD
.
（1）分别写出
1
M
，
2
M
，
3
M
的极坐标方程；
（2）曲线
M
由
1
M
，
2
M
，
3
M
构成，若点
P
在
M
上，且
| | 3OP
，求
P
的极坐标.
【解析】（ 1）由题设可 得，弧
, ,AB BC CD
所在圆的极坐标 方程分别为
2cos
 
，
2sin
 
，
2cos
 
 
.
所以
1
M
的极坐标方程为
π
2cos 0 4
 
 
 
 
剟
，
2
M
的极坐标方程为
π 3π
2sin 4 4
 
 
 
 
剟
，
3
M
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