《高考数学(理)选考与统计部分二轮专项提升》专题04推理与证明（解析版）

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《2020 年数学（理）选考与统计部分二轮专项提升》
专题 04 推理与证明
一、 高考题型特点：
这部分属于高考必考内容，以客观题为主，有时出现在大题中的一问中，难度中等偏上。
二、重难点：
1.合情推理的过程概括为
―→―→
―→
2.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的
一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.
3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆
行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，
先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.
三、易错注意点：
1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.
2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的
规范性.
3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.
4.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”
等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.
5.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是
“不存在”等.
四、典型例题：
例 1.（2019 全国 I 理 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
5 1
2
（
5 1
2
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶
至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5 1
2
．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105
cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高
可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
【答案】8
【解析】 头顶至脖子下端的长度为 26cm，说明头顶到咽喉的长度小于 26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉
至肚脐的长度之比是
5-1 0.618
2
，可得咽喉至肚脐的长度小于
26 42
0.618
，由头顶至肚脐的长度与肚
脐至足底的长度之比是
5-1
2
，可得肚脐至足底的长度小
42+26 =110
0.618
，即有该人的身高小于
110 68 178cm 
，又肚脐至足底的长度大于 105cm，可得头顶至肚脐的长度大于 105×0.618≈65cm，即
该人的身高大于 65+105=170cm.综上可得身高在 170cm-178cm 之间．故选B．
例 2. （2019 全国 II 理 4）2019 年 1 月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我
国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯
联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
点的轨道运行．
点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为
M
１，月球质量为
M
２，地月距离为
R
，
点到月
球的距离为
r
，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
r
满足方程：
1 2 1
2 2 3
( )
( )
M M M
R r
R r r R
 
.
设
r
R
，由于
的值很小，因此在近似计算中
3 4 5
3
2
3 3 3
(1 )
 
，则
r
的近似值为
A．
2
1
MR
M
B．
2
1
2
MR
M
C．
2
3
1
3MR
M
D．
2
3
1
3
MR
M
【答案】D
【解 析 】 解法一（直接代换运算）：由
1 2 1
2 2 3
( )
( )
M M M
R r
R r r R
 
及
r
R
可 得
1 2 1
2 2 2 2
(1 )
(1 )
M M M
R r R
 
，
3 2 3
2 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
[(1 ) 1] (3 3 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
M M M M M
r R R R R
  
 
 
 
 
.
因为
3 4 5
3
2
3 3 3
(1 )
 
，所以
2 1 1
2 2 3
3
3
M M M r
r
r R R R
 
，则
3
32
1
3
M R
rM
，
2
3
1
3
M
r R
M
.故选D.
解法二（由选项结构特征入手）：因为
r
R
，所以
r R
，
r
满足方程：
1 2 1
2 2 3
( )
( )
M M M
R r
R r r R
 
．
所以
3 4 5
3
2
2
1
3 3 3
(1 )
M
M
 
 
 
，
所以
2
3
1
3
M
r R R
M
 
故选D.
例 3．(2018 浙江)已知
1
a
，
2
a
，
3
a
，
4
a
成等比数列，且
1 2 3 4 1 2 3
ln( )a a a a a a a  
．若
1
1a
，
则（ ）
A．
1 3
a a
，
2 4
a a
B．
1 3
a a
，
2 4
a a
C．
1 3
a a
，
2 4
a a
D．
1 3
a a
，
2 4
a a
【答案】B
【解析】解法一 因为
ln 1x x ≤
(
0x
)，所以
1 2 3 4 1 2 3
ln( )a a a a a a a   
1 2 3
1a a a  ≤
，所以
41a≤
，又
1
1a
，所以等比数列的公比
0q
．
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