《高考数学(理)选考与统计部分二轮专项提升》专题03回归分析与独立性检验（解析版）

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《2020 年数学（理）选考与统计部分二轮专项提升》
专题 03 回归分析与独立性检验
一、 高考题型特点：
这部分属于高考必考内容，既考客观题，也考大题，难度中等。
二、重难点：
1.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有
就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；
(3)求出线性回归方程.
2.独立性检验是根据
K
2的值判断两个分类变量有关的可信程度.
三、易错注意点：
1.求回归方程，关键在于正确求出系数
a
^，
b
^ ，由于
a
^ ，
b
^ 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进
行，避免因计算而产生错误.
2.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性
回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，
而不是真实发生的值.
3.独立性检验中统计量
K
2的观测值
k
0的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出
错，而导致整个计算结果出错.
四、典型例题：
例 1．（2017 山东）为了研究某班学生的脚长
x
（单位：厘米）和身高
y
（单位：厘米）的关系，从该班
随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出
y
与
x
之间有线性相关关系，设其回归直线方程为
ˆ
ˆ ˆ
y bx a 
．已知
10
1
225
i
i
x
，
10
1
1600
i
i
y
，
ˆ4b
．该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（
）
A．
160
B．
C．
D．
170
【答案】C
【解析】因为
22.5x
，
160y
，所以
160 4 22.5 70a  
，
4 24 70 166y 
，选 C．
例 2．（2012 新课标）在一组样本数据（
x
1，
y
1），（
x
2，
y
2），…，（
xn
，
yn
）（
n
≥2，
x
1,
x
2,…,
xn
不全
相等）的散点图中，若所有样本点（
xi
，
yi
）(
i
=1,2,…,
n
)都在直线
11
2
y x 
上，则这组样本数据的样
本相关系数为 （ ）
A．−1 B．0 C． D．1
【答案】D
【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为 1，故选 D.
例 3．（2018 全国卷Ⅱ）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额
y
（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了
y
与时间变量
t
的两个线性回归模型．根据 2000
年至 2016 年的数据（时间变量
t
的值依次为
1 2 17， ，…，
）建立模型①：
ˆ30.4 13.5  y t
；根据 2010 年
至 2016 年的数据（时间变量
t
的值依次为
1 2 7， ，…，
）建立模型②：
ˆ99 17.5 y t
．
(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【解析】(1)利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ30.4 13.5 19 226.1y 
(亿元)．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
ˆ99 17.5 9 256.5y  
(亿元)．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线
30.4 13.5y t 
上下．
这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．
2010 年相对 2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的
附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数
据建立的线性模型
ˆ99 17.5y t 
可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利
用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①得到的预测值 226.1 亿元
的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
例 4．(2016 年全国 III)下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合
y
与
t
的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立
y
关于
t
的回归方程（系数精确到0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据：
7
1
9.32
i
i
y
，
7
1
40.17
i i
i
t y
，
7
2
1
( ) 0.55
i
i
y y
 
，
7
≈2.646.
参考公式：相关系数
1
2 2
1 1
( )( )
( ) (y y)
n
i i
i
n n
i i
i i
t t y y
r
t t
 
 
 
 
，
回归方程
y a bt 
 
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
 
，
= .a y bt
 
【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
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