《高考数学(理)选考与统计部分二轮专项提升》专题02统计初步（解析版）

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《2020 年数学（理）选考与统计部分二轮专项提升》
专题 02 统计初步
一、 高考题型特点：
这部分属于高考必考内容，以客观题为主，难度中等偏下。
二、重难点：
1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样
方法的客观性和公平性.若样本容量为
n
，总体容量为
N
，每个个体被抽到的概率是.
2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.
3.分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或
系统抽样.
4.用样本估计总体是统计的基本思想.
用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体
分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.
5.(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有
关，这是中位数、众数所不具有的性质.
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度就越大.
6.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律.
三、 易错注意点：
1.简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样.
2.系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的.
3.分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的.
4.在使用茎叶图时，一定要注意看清楚所有的样本数据，弄清楚这个图中的数字特点，不要漏掉了数据，
也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义.
5.直方图与条形图不要搞混
频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形
图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.
四、典型例题：
例 1．（2019 全国 II 理 5）演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变
的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
【答案】A
【解析】根据题意，从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分，7 个有效评分与
9 个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变.故选 A．
例 2．（2019 全国 II 理 13）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车
次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所
有车次的平均正点率的估计值为__________.
【答案】0.98
【解析】 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
10 0.97 20 0.98 10 0.99 0.98
10 20 10
x  
 
 
.
例 3．（2019 全国 III 理 17）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200 只小
鼠随机分成 A、B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠
给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分
比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记
C
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到
P
（
C
）的估计值为 0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中
a
，
b
的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【解析】（1）由已知得
0.70 0.20 0.15a 
，故
0.35a
．
b
=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．
例 4.(2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 .为更好地
了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图
所示的饼图：
则下面结论中不正确的是(　　)
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】　A
【解析】　法一　设新农村建设前经济收入为
a
，则新农村建设后经济收入为 2
a
，则由饼图可得新农村建
设前种植收入为 0.6
a
，其他收入为 0.04
a
，养殖收入为 0.3
a
.新农村建设后种植收入为 0.74
a
，其他收入为
0.1
a
，养殖收入为 0.6
a
，养殖收入与第三产业收入的总和为 1.16
a
，所以新农村建设后，种植收入减少是
错误的.
法二　因为 0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以 A 是错误的.
例 5.(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 .为了解客户的
评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适
的抽样方法是________.
【答案】　分层抽样
【解析】　因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解
到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.
例 6.(2017·全国Ⅰ卷)为评估一种农作物的种植效果，选了
n
块地作试验田.这
n
块地的亩产量(单位：
kg)分别为
x
1，
x
2，…，
xn
，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)
A.
x
1，
x
2，…，
xn
的平均数 B.
x
1，
x
2，…，
xn
的标准差
C.
x
1，
x
2，…，
xn
的最大值 D.
x
1，
x
2，…，
xn
的中位数
【答案】B
【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.
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