《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）
2.7 导数的应用（讲义+典型例题+小练）
1. 基本方法：
（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y＝f（x）在某个区间内有导数，如
果在这个区间内
y¿
>0，那么函数 y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内
y¿
<0，那么函数 y＝f（x）为这个区间内的减函数.
（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数 f（x）的导数 f′（x）. ② 令f′（x）＞0
解不等式，得 x的范围就是递增区间. ③ 令f′（x）＜0解不等式，得 x的范围，就是递减区
间.
（3）判别 f（x0）是极大、极小值的方法：若
x0
满足
f'(x0)=0
，且在
x0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x0
是
f(x)
的极值点，
f(x0)
是极值，并且如果
f'(x)
在
x0
两侧满
足“左正右负”，则
x0
是
f(x)
的极大值点，
f(x0)
是极大值；如果
f'(x)
在
x0
两侧满足
“左负右正”，则
x0
是
f(x)
的极小值点，
f(x0)
是极小值.
（4）求函数 f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数 f′（x）. ② 求方
程f'（x）＝0的根. ③ 用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，
并列成表格. 检查 f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在这个根
处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，
即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值.
2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决
实际问题的意识，思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，
找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常
规问题，选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这
些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．
知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。这时就是
导数显身手的时候了。
在现实生活中我们可以利用导数实现最优化的选择。
典型例题
1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系
数为 .已知贷款的利率为 ，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利
率为 ， ，若使银行获得最大收益，则 的取值为（）
A．B．C．D．
2．如图，某校园有一块半径为 20 m 的半圆形绿化区域（以 为圆心， 为直径），现
对其进行改建，在 的延长线上取点 D， ，在半圆上选定一点 C，改建后绿化
区域由扇形区域 和三角形区域 组成，设 .若改建后绿化区域的面积为 ，
则 为______rad 时，改建后的绿化区域面积 取得最大值.
3．如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位
于离河岸 40 km 的B处，BD 垂直于河岸，垂足为 D且D与A相距50 km．两厂要在此岸边
合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米 3a元和5a元，
问：供水站 C建在岸边何处才能使铺设水管的费用最省？
举一反三
1．某一学习兴趣小组对学校超市某种商品的销售情况进行了调研，通过大量的数据分析，
发现该商品每日的销售量 （百件）与销售价格 （元/件）满足 ，现已
知该商品的成本价为2元/件，则当 时，超市每日销售该商品所获得的最大利润为
__________元.
2．通过某导体横截面的电量q（单位：C）关于时间 t（单位：s）的函数关系式为
.
(1)求当 t从1s 变到 5s 时，电量q关于时间 t的平均变化率，并解释它的实际意义.
(2)求 ，并解释它的实际意义.
3．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 r（cm）
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