《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》2.7导数的应用（讲义+典型例题+小练）（解析版）

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2.7 导数的应用（讲义+典型例题+小练）
1. 基本方法：
（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y＝f（x）在某个区间内有导数，如
果在这个区间内
y¿
>0，那么函数 y＝f（x）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内
y¿
<0，那么函数 y＝f（x）为这个区间内的减函数.
（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数 f（x）的导数 f′（x）. ② 令f′（x）＞0
解不等式，得 x的范围就是递增区间. ③ 令f′（x）＜0解不等式，得 x的范围，就是递减区
间.
（3）判别 f（x0）是极大、极小值的方法：若
x0
满足
f'(x0)=0
，且在
x0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x0
是
的极值点，
f(x0)
是极值，并且如果
f'(x)
在
x0
两侧满
足“左正右负”，则
x0
是
f(x)
的极大值点，
f(x0)
是极大值；如果
f'(x)
在
x0
两侧满足
“左负右正”，则
x0
是
f(x)
的极小值点，
f(x0)
是极小值.
（4）求函数 f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数 f′（x）. ② 求方
程f'（x）＝0的根. ③ 用函数的导数为 0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，
并列成表格. 检查 f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在这个根
处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，
即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值.
2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决
实际问题的意识，思想方法以及能力.
解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，
找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常
规问题，选择合适的数学方法求解.
根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这
些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．
知识当回归于生活，在现实生活中，有很多时候我们需要用到最大、最小。这时就是
导数显身手的时候了。
在现实生活中我们可以利用导数实现最优化的选择。
典型例题
1．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系
数为 .已知贷款的利率为 ，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利
率为 ， ，若使银行获得最大收益，则 的取值为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将银行收益表示为关于 的函数的形式，利用导数可确定最大值点，即所求 的取值.
【详解】
若存款利率为 ，则存款量是 ，银行支付的利息是 ，获得的贷款利息是 ，
银行的收益是 ，
则 ，令 得： 或 （舍去）.
当 时， ；当 时， .
当 时， 取得最大值，即当存款利率为 时，银行获得最大收益.
故选：B.
2．如图，某校园有一块半径为 20 m 的半圆形绿化区域（以 为圆心， 为直径），现
对其进行改建，在 的延长线上取点 D， ，在半圆上选定一点 C，改建后绿化
区域由扇形区域和三角形区域 组成，设 .若改建后绿化区域的面积为 ，
则 为______rad 时，改建后的绿化区域面积 取得最大值.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出绿化区域面积 的表达式，结合导数求解最值.
【详解】
， ，
由，当 时， ， 为增函数；
当 ， ， 为减函数，所以当 时， 取得最大值.
故答案为： .
3．如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边 A处，乙厂与甲厂在河的同侧，位
于离河岸 40 km 的B处，BD 垂直于河岸，垂足为 D且D与A相距50 km．两厂要在此岸边
合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米 3a元和5a元，
问：供水站 C建在岸边何处才能使铺设水管的费用最省？
【答案】供水站 C建在岸边 A、D之间距甲厂 20 km 处.
【解析】
【分析】
根据题意建立数学模型，通过适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导，求出最值，
可确定供水站的位置.
【详解】
根据题意可知点 C，在线段 AD 上某一适当位置时，才能使总运费最省，设 C点距D点 x
km，则 BD=40，AC=50－x,
∴，
设铺设水管的总费用为 y元，则
，
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