《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》2.6.3函数的最值（讲义+典型例题+小练)（解析版）

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2.6.3 函数的最值（讲义+典型例题+小练)
函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域 D 内存 ，使得对任意的 ，都有 ，
（ 或 ） 则 称 为 函 数 的 最 大 （ 小 ） 值 ， 记 作 （ 或
）
②如果函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区
间 上必有最大值和最小值。
③求可导函数 在闭区间 上的最值方法：
第一步；求 在区间 内的极值；
第二步：比较 的极值与 、 的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最
大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数
f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和 f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极
小值和 f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对
应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如 的极大值为 ，极小值为 2。
注意：当 x=x0时，函数有极值
⇒
f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0 不能得到当 x=x0时，函数
有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
例：1．函数 的最大值为（）
A．32 B．27 C．16 D．40
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数即可求解.
【详解】
因为 ，所以当 时， ；
当 时， .
所以函数在 上单调递增；在 上单调递增,，
因此， 的最大值为 .
故选：A
2．函数 ， 的值域为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函数 的导数，根据导数在函数最值上的应用，即可求出结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
令 ，又 ，所以 或 ；
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 单调递增，在 上单调递减；
所以 ；
又 ， ，所以 ；
所以函数 的值域为 .
故选：D.
3．已知函数 在 上的最大值为 2，则 _________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先求导可知原函数在 上单调递增，求出参数 后即可求出 .
【详解】
解： 在 上
在 上单调递增，且当 取得最大值
，可知
故答案为：1
4．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
(1) ， ；
(2) ， ．
【答案】(1)最小值为-1，最大值为 8；
(2)最大值为 ，最小值为 3
【解析】
【分析】
求导后利用单调性求出极值点与极值，再求出端点值，比较极值与端点值的大小，确定最
值.
(1)
， ，当 时， ，
单调递减，当 或 时， ，
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