《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》2.6.1函数的单调性（讲义+典型例题+小练）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 15 4 811.58KB 19 页 3知币
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2.6.1 函数的单调性（讲义+典型例题+小练）
函数的单调性：设函数 在某个区间内可导，
（1） 该区间内为增函数；
（2） 该区间内为减函数；
注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这个区
间上仍是递增（或递减）的。
（3） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（4） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数 f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
y'=f'(x)
(2)判断导函数
y'=f'(x)
在区间上的符号
(3)下结论
① 该区间内为增函数；
② 该区间内为减函数；
例1：已知函数 ，且 .
（1）求 的值；
（2）判定 的奇偶性；
（3）判断 在 上的单调性，并给予证明.
答案．（1）1；（2）奇函数；（3）增函数，证明见解析.
【分析】
（1）利用 代入可求；
（2）利用奇偶性定义进行判定，可得是奇函数；
（3）利用导数进行证明.
【详解】
（1）因为 ，所以 .
（2）因为
所以 为奇函数.
（3）因为
所以 在 为增函数.
【点睛】
本题主要考查函数性质，奇偶性判定一般是利用定义来进行，单调性判定可以使用导数或
者定义来进行.
举一反三
1.已知向量 ，若函数 在区间 上是增函数，求
的取值范围.
1．
【分析】
先求出 ，则 在 上恒成立，可用参变分离求参数 的
取值范围.
【详解】
由题意知： ，则
，
∵在区间 上是增函数，∴在 上恒成立，
即 在区间 上是恒成立，
设 ，则 ，于是有
时， 的值域为 ，故 .
【点睛】
一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为
单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则
．
题型二、利用导数求单调区间
求函数
y=f(x)
单调区间的步骤为：
（1）分析
y=f(x)
的定义域； （2）求导数
y'=f'(x)
（3）解不等式
，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式
，解集在定义域内的部分为减区间
例2：1.函数 的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
答案．C
【分析】
求导，根据 可解得结果.
【详解】
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