《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）（解析版）

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2.1 平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）
一、平均变化率
设 是函数 定义域的一点，如果自变量 在 处有增量 ，则函数值 也引起相
应的增量 ；比值 称为函数 在点 到
之间的平均变化率；
例1：1．若函数 ，当 时，平均变化率为 2，则 等于（）
A．B．2 C．3 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用平均变化率的公式求解.
【详解】
解：由题得 .故选：D
2．求函数 y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率.
【答案】3＋3x0·Δx＋(Δx)2
【解析】
【分析】
利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可.
【详解】
当自变量从 x0到x0＋Δx，函数的平均变化率为
＝
＝
＝
＝3＋3x0·Δx＋(Δx)2.
0
x)(xfy x0
xxy
)()( 00 xfxxfy x
xfxxf
x
y
)()( 00
)(xfy 0
x
xx
0
举一反三：
1．求函数 在区间 和 上的平均变化率.
【答案】在区间 和 上的平均变化率分别为 和 .
【解析】
【分析】
根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，函数 ，
在区间 ， 的平均变化率为 ，
在区间 ， 的平均变化率为 ．
2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间 t内所经过的距离为 ，求小
球在时间段 内的平均速度.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平均速度的定义直接可求.
【详解】
因为小球在 t内所经过的距离为 ，
所以在时间段 内的平均速度为 .
3．如图，直线 l为经过曲线上点 P和Q的割线．
(1)若 ， ，求 l的斜率；
(2)当点 Q沿曲线向点 P靠近时，l的斜率变大还是变小？
【答案】(1)
(2)斜率变大
【解析】
【分析】
（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；
（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可；
(1)
解：因为 ， ，所以 ；
(2)
解：当 沿曲线向点 靠近时，直线的倾斜角 （锐角）在变大，又 ，所以直线
的斜率变大了；
二．瞬时变化率
设 是函数 定义域的一点，如果自变量 在 处有增量 ，则函数值 也引起相
应的增量 ；当 、△y都趋向 0时。比值 称
为函数 在点 到 之间的平均变化率；
0
x)(xfy x0
xxy
)()( 00 xfxxfy xx
xfxxf
x
y
)()( 00
)(xfy 0
x xx
0
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