《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》1.5数学归纳法（讲义+典型例题+小练）（解析版）

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1.5 数学归纳法（讲义+典型例题+小练）
数学归纳法
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 N 的所有正整数 n 都成立时,可以用以下两
个步骤:
(1)证明当 n=n0时命题成立;
(2)假设当 n=k（ ）时命题成立,证明 n=k+1 时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立.这种证明方法
称为数学归纳法.
一、恒等式问题
例1：1．用数学归纳法证明 .
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
由n=1 时，等式成立，假设 n=k时，等式成立，再证得 时，等式成立
即可.
【详解】
证明：（1）当 n=1 时，左边=1-x，右边=1-x=左边，等式成立；
（2）假设 n=k时，等式成立，即 ，
当 时， ，
，
，
，
故当 时，等式成立，
由（1）（2）可知，原等式对于任意 成立.
2．已知数列 满足 ，且 .
(1)求，，；
(2)由（1）猜想 的通项公式 ；
(3)用数学归纳法证明（2）的结果.
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由递推公式依次计算求解；
（2）由（1）的结论猜想通项公式；
（3）用数学归纳法证明．
(1)
，则 ， ，
， ，
， ；
(2)
由（1）猜想 ；
(3)
证明：（i） ，命题成立，
（ii）假设 时命题成立，即 ，
则 时，由 ，解得 ，命题成
立，
综上， 时，命题成立，即 ．
举一反三
1．如图， 、 、 、 是曲线
上的 个点，点 在 轴的正半轴上，且 是
正三角形（ 是坐标原点）．
（1）写出 、 、 ；
（2）猜想点 的横坐标 关于 的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1） ， ， ；（2）猜想： ，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）推导出 ，结合 的值，可求得 、 、 的值；
（2）结合 、 、 的值可猜想得出 ，然后利用数学归纳法结合
可证得猜想成立.
【详解】
（1）设 ，则依题意，可得 ， ，
代入 ，得 ，
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