《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》1.4数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

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1.4 数列在日常经济生活中的应用（讲义+典型例题+小练）
一、 例述数列在生活中的应用
数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并
影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例：
例1：1．为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时
服用一次，每次服用 m毫克.已知人的肾脏每 24 小时可以从体内滤除这种药物的 80%，设
第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是 毫克，（即 ）.
(1)已知 ，求 ､；
(2)该药物在人体的含量超过 25 毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求 m
的最大值.
举一反三：
1．顾客采用分期付款的方式购买一件 5000 元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每
月等额付款一次，在购买后的第 12 个月将货款全部付清，月利率 0.5％.按复利计算，该顾
客每月应付款多少元（精确到 1元）？
二、 银行储蓄与分期付款中的数列应用
储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小
到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。
在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是
银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列
在储蓄领域应用的解析。
（1）储蓄业务种类①活期储蓄②定期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、
整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定活两便储蓄）
③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款
（2）银行存款计息方式：
①单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.
其公式为： 利息=本金×利率×存期
以符号 P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金和利息和(以下简称本利和),则有
②复利 把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的
计算公式是
（3）零存整取模型
例1：1．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生
的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期
内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷
款10000 元，约定月利率为 1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还
款12 次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，
到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的 1.525%，并且按照单利计算利息，这样的
还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2)
A．0 B．1200 C．1030 D．900
2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到
约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).
(1)若每月存入金额为 x元,月利率 r 保持不变,存期为 n 个月,试推导出到期整取是本利和
的公式;
(2)若每月初存入 500 元,月利率为 0.3%,到第 36 个月末整取时的本利和是多少?
(3)若每月初存入一定金额,月利率为 0.3%,希望到第 12 个月末整取时取得本利和 2000 元.
那么每月初应存入的金额是多少?
举一反三：
1．某企业在 2013 年年初贷款 M万元，年利率为 m，从该年年末开始，每年偿还的金额都
是a万元，并恰好在10 年间还清，则 a的值为（）
A．B．C．D．
2.银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到
约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.银行按国家规定到
期扣除20﹪的利息税(应纳税额=应纳税利息额×税率).
(1)若每月存入金额为 x元,月利率 r 保持不变,存期为 n 个月,试推导出到期整取时本利和
的公式;
(2)若每月初存入 500 元,月利率为 0.3%,到第 36 个月末整取时的本利和是多少?
三、 环境资源利用中的数列应用
进入21 世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤
其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的
首要问题。在土地资源、森林资源、某些再生资源的利用方面，我们可以运用
所学到的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分
配和有效利用。
在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量
关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比等差数列关系，从而进行
相应的数列计算得到需要的解答；在生物保护方面的植物研究，数列中的斐波
那契数列对于植物叶序与深层组织结构关系的研究也提供了相应的指导；数列
在土地荒漠化治理、河流污染控制、水资源与森林资源的开采与控制等方面都
有着不同程度的应用。
例3：1．资料表明，2000 年我国工业废弃垃圾达 ，每吨占地.环保部门每回
收或处理 1t 废旧物资，相当于消灭 4t 工业废弃垃圾.如果某环保部门2002 年共回收处理了
废旧物资，且以后每年的回收量递增 20％.
(1)2018 年能回收多少吨废旧物资？（结果用科学记数法表示，保留一位小数）
(2)从2002 年到2018 年底，可节约土地多少平方米？（结果用科学记数法表示，保留一位
小数）
举一反三：
1．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该
生产线连续生产 n年的累计产量为 （单位：吨），但如果年产量超
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