《高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）讲义+单元检测》1.2等差数列（讲义+典型例题+小练）（原卷版）

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1.2 等差数列（讲义+典型例题+小练）
1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
（2）符号表示：
2、通项公式：若等差数列 的首项是 ，公差是 ，则 ．
通项公式的变形：① ；② ．
通项公式特点：
an=kn+m，（ k , m为常数 )
是数列
{
an
}
成等差数列的充要条件。
例1：1．在等差数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．已知等差数列{ }， ，则公差 d的值是（ ）
A．4 B．-6 C．8 D．-10
举一反三
1．已知等差数列 中， ，则 （ ）
A．B．C．D．3
2．已知等差数列 中， ， ，则 等于（ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
3．已知数列 是等差数列，若 ， ，则公差 _____.
3、等差中项
若三个数 ， ， 组成等差数列，则 称为 与 的等差中项．若 ，则
称 为 与 的等差中项．即 a、b、c成等差数列
例2：1．在等差数列 中，已知 ，则该数列第 项 （ ）
A．B．C．D．
举一反三
1．已知等差数列 ，且 ，则 （）
A．3 B．5 C．7 D．9
2．已知等差数列 的前 n项和为 ，且 ，则 ________
_．
3．已知 ， ，则 a，b的等差中项为（）
A．B．C．D．
4、等差数列
{
an
}
的基本性质
(其中m , n , p , q ∈N¿)
（1）
m若+n=p+q，则am+an=ap+aq
。
（2）
an−am=(n−m)d
（3）
例3：1．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．等差数列 中， ，则 的值为（ ）
A．B．C．10 D．2
举一反三
1．在等差数列{an}中，a1+2a2+3a3+4a4＝100，则 a1+a2+a3+a4+a5＝（）
A．100 B．75 C．50 D．25
2．已知等差数列 满足 ，则 （）
A．B．C．D．
5、等差数列的前 项和的公式
公式：① ；② ．
公式特征： 是一个关于 n且没有常数项的二次函数形式
等差数列的前 项和的性质：
①若项数为 ，则 ，且 ， ．
②若项数为 ，则 ，且 ，
（其中 ， ）．
③ ， ， 成等差数列．
6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an+1−an=d(常数）（n∈N¿）
⇒
{
an
}
是等差数列
②中项法：
A+B+C=π , A+B+C
2=π
2 , A+B
2=π
2 - C
2
Sin
(
A+B
)
=Sin
(
C
)
Co s
(
A+B
)
=− Cos
(
C
)
Sin
(
A+B
2
)
=Co s
(
C
2
)
Cos
(
A+B
2
)
=Sin
(
C
2
)
{
an
}
是等差数列
③通项公式法：
an=kn+b(k , b 为常数)
⇒
{
an
}
是等差数列
④前
Sin
(
α+β
)
=Sin αCos β +Co sα Sin β , S (α+β)
Sin
(
α−β
)
=Sin α Co sβ−Cos αSin β , S (α−β)
项和公式法：
Cos
(
α+β
)
=Cos α Cos β −Sin α Sin β , C(α+β)
Cos
(
α−β
)
=Cos α Cos β+Sin α Sin β , C(α−β)
tan
(
α+β
)
=tan α+tan β
1−tan αtan β , T(α+β)
tan
(
α−β
)
=tan α−tan β
1+tan αtan β , T(α−β)
⇒
Sin 2α=2Sin α Cos α
Cos2α=2Cos2α−1=1−2Sin2α=Cos2α−Sin2α
tan 2 α=2 tan α
1−tan 2α
是等差数列
例4：1．已知 为等差数列， 为其前 项和.若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
2．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.
某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有 层，从第 层起，每
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