《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第一讲：弦长问题（解析版）

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第一讲：弦长问题
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，弦长公式的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解长
度；
拓展目标：能够熟练应用基本不等式等方法，求解圆锥曲线弦长等最值.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、弦长公式
设
M(x1，y1)
，
N(x2，y2)
根据两点距离公式
|MN|=
√
(x1−x2)2+( y1−y2)2
．
（1）若
M、N
在直线
y=kx+m
上，代入化简，得 ;
（2）若
M、N
所在直线方程为
x=ty+m
，代入化简，得
|MN|=
√
1+t2|y1−y2
|
（3）抛物线的弦长公式：
若 直 线 不 过 焦 点 ， 与 双 曲 线 相 交 于 两 点 ， 弦 长
，若直线 过焦点，与双曲线
相交于 两点，则弦长 .
2、基本不等式
（1） （ ），当且仅当 时，等号成立；
（2） ，当且仅当 时，等号成立.
【考点剖析】
考点一：求弦长
例 1．椭圆 C： 左右焦点为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 C 上．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)经过点 ，倾斜角为 直线 与椭圆交于 两点，求 ．
【答案】(1) ；(2)
解析：（1）由题意得 ，解得 ，
又因为点 在椭圆 C 上，
带入 得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）易得直线 l 的解析式为 ，
设 ， 联立椭圆的方程
得
，
所以 ．
例 2．设 ､分别为双曲线 的左右焦点，且 也为抛物线 的的焦点，若
点 ， ， 是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线 的方程；
(2)若直线 ： 与双曲线 相交于 两点，求 .
【答案】(1) ；(2)
解析：（1）抛物线 的焦点为 ，所以 ，即 ， ，又点 ， ，
是等腰直角三角形的三个顶点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，所以双曲线方程为
.
（ 2 ） 依 题 意 设 ， ， 由 消 去 整 理 得 ， 由
， 所 以 ， ， 所 以
.
例 3．已知抛物线 的焦点为 ，第四象限的一点 在 上，且 .
(1)求 的方程和 的值；
(2)若直线 交 于 两点，且线段 中点的坐标为 ，求直线 的方程及线段 的长.
【答案】(1) ， ；(2) ，
解析：(1)抛物线 的准线方程为 ，
由抛物线定义得， ，
解得 ，所以抛物线 C 的方程为 .
将 代入 C 的方程得， ，解得 ，
因为点 P 在第四象限，所以 .
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