《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第五讲：向量问题二（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 14 4 1.8MB 39 页 3知币
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第四讲：向量问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表
示；
拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角
和钝角）.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的
计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角
的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。
1、垂直
当直线 时，利用向量进行数量积的翻译，即 ,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的
情况）
2、向量模长
当 时，通过平方推导，转化为 ，即翻译成垂直.
3、定角
求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译， 向量的数量积，即 .
4、直角，锐角和钝角
当 为直角时，则 ；
当 为锐角时，则 ；
当 为钝角时，则 ；
【考点剖析】
考点一：已知垂直求参
例 1．已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距
离的差为 ，且椭圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交 于 、 两点，且 求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
解析：（1）由题意可得： ，
即 ，又由 ，即 ，
所以 ， ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）易知直线 的斜率不为 且可能不存在，
故设直线 的方程为 ，
代入椭圆方程 整理可得： ，
设 、 两点坐标为 ， ，
则有 ， ，
，
由 ，则有 ，
，
整理可得： ，所以 ，
所以直线 的方程为 .
变式训练 1：已知椭圆标准方程为 ，椭圆的左右焦坐标分别为 ，离
心率为 ，过点 直线 与椭圆交于 两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） 或 .
解析：（1）由已知得
所以椭圆标准方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 ，得 , ，此时不满足 ；
设直线 方程为 ，设 ､，
联立方程组
，
， ，
， ，
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