《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第四讲：向量问题一（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 15 4 2.21MB 48 页 3知币
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第三讲：向量问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，向量的数乘，向量的线性运算；
拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的
计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：向量的数量积，向量的数
乘，向量的线性运算，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。
1、向量的数量积
若 ，则
2、向量的数乘
若 ，则 时，
3、向量的线性运算
若 ，则 时， .
【考点剖析】
考点一：向量数量积
例 1．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的左顶点到右焦点的距离是 ，离
心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)斜率为 的直线 经过椭圆 的右焦点，且与椭圆 相交于 ， 两点．已知点 ，求
的值．
【答案】(1) ；(2) .
解析：(1)因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是 3，所以 ．
又椭圆的离心率是 ，所以 ，解得 ， ，从而 ．
所以椭圆 的标准方程 ．
(2)因为直线 的斜率为 ，且过右焦点 ，所以直线 的方程为 ．
联立直线 的方程与椭圆方程 ，
消去 ，得 ，其中 ．
设 ， ，则 ， ．
因为 ，所以
．
因此 的值是 ．
变式训练 1：已知椭圆 ( )的离心率为 ，点 在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线 与椭圆交于 ， 两点，点 的坐标为 ，且 ，求实数 的
值.
【答案】（1） ；（2） .
解析：（1） 椭圆的离心率 ， ，则 ，
点 在椭圆上， ，
解得 ，则 ，
椭圆的方程为 .
（2）设 .
联立 ，得 .
，即 ，
， ，
，
，
整理得 ，解得 ，满足 ，故 .
变式训练 2：已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 .
(1)求双曲线的方程；
(2)若点 在双曲线上，试求 的值.
【答案】（1） ；（2）
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