《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第十一讲：斜率问题三（原卷版）
第十一讲：斜率问题（三）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，斜率的计算；
应用目标：掌握圆锥曲线中斜率的加减乘除运算，并利用计算进行证明；
拓展目标：能够熟练应用圆锥曲线中的斜率关系，解决相关的位置关系和等量关系问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、斜率之和：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出 ，利用通分，转化为两根之和，两根之积的问
题，利用韦达定理求解。
2、斜率相乘或相除：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出 或 ；利用通分，转化为两根之和，两
根之积的问题，利用韦达定理求解。
3、斜率倍数关系：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出 ，转化为 ；利用通分，转化为两
根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。
4、斜率呈等差数列或等比数列：当斜率 呈等差数列时，则 ，当斜率 呈等比数
列时，则 ，最后利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。
5、斜率求解范围：通过点的坐标，表示出斜率，并表示斜率的关系；利用通分，转化为两根之和，两根
之积的问题，韦达定理带入，最后利用基本不等式、二次函数或导数求解最值。
【考点剖析】
考点一：斜率关系一（斜率加减运算）
例 1．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 M 满足 ．记点 M
的轨迹为曲线 C．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)设直线 l 不经过 点且与曲线 C 相交于 A，B 两点．若直线 l 过定点 ，证明：直线 PA 与直线
PB 的斜率之和为定值.
变式训练 1：如图，椭圆 经过点 ，且长轴长是短轴长的 倍．
(1)求椭圆 的方程；
(2)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 、 （均异于点 ），求证：直线 与
的斜率之和为定值．
变式训练 2：已知双曲线 的一条渐近线斜率为 ，且双曲线 C 经过点 ．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)斜率为 的直线 l 与双曲线 C 交于异于 M 的不同两点 A、B，直线 MA、MB 的斜率分别为 、 ，若
，求直线 l 的方程．
变式训练 3：已知圆 ： ，定点 ， 是圆 上的一动点，线段 的垂直平
分线交半径 于 点．
(1)求 点的轨迹 的方程；
(2)设直线 过点 且与曲线 相交于 两点， 不经过点 ．证明：直线 的斜率与直线
的斜率之和为定值．
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