《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第十二讲：斜率问题四（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 16 4 703.45KB 17 页 3知币
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第十二讲：斜率问题（四）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相
反数；
拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、倾斜角互补
直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 时，则 ；
2、角度相等
当角度的公共边为 轴、 轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角
互补，斜率相加为零；
3、线段相等
等腰三角形的底边为 轴、 轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜
角互补，斜率相加为零；
4、角平分线
当角平分线为 轴、 轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，
斜率相加为零；
【考点剖析】
考点一：倾斜角互补
例 1．已知椭圆 （ ）离心率等于 ，且椭圆 C 经过点 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 P 作倾斜角分别为 的两条直线 PA，PB，设 PA，PB 与椭圆 C 异于
点 P 的交点分别为 A，B，若 ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？如
果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
变式训练 1：已知椭圆 ( )的离心率为 ，以原点 为圆心，以 的短半轴长为半
径的圆被直线 截得的弦长为 2.
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 的坐标为 ，直线 （不过原点 也不过点 ）交 于 两点，且直线 的倾斜角互补，
若点 是 的中点，求直线 的斜率.
变式训练 2：已知圆 ： ，圆 ： ，动圆 与圆 和圆 均内切.
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程
(2)点 （ ）为轨迹 上的点，过点 作两条直线与轨迹 交于 两点，直线 ， 的斜率
互为相反数，则直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值：若不是，请说明理由.
变式训练 3：已知抛物线 C1： 与椭圆 C2： （ ）有公共的焦点，C2 的左､右焦点
分别为 F1，F2，该椭圆的离心率为 .
(1)求椭圆 C2 的方程；
(2)如图，若直线 l 与 x 轴，椭圆 C2 顺次交于 P，Q，R（P 点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q 与∠PF1R
互为补角，求△F1QR 面积 S 的最大值.
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