《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第十二讲：斜率问题四（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 18 4 2.08MB 42 页 3知币
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第十二讲：斜率问题（四）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，直线斜率的表示和计算过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中，直线与其对应的关系，倾斜角互补，斜率互为相
反数；
拓展目标：能够熟练应用数形结合，观察线段长度，位置关系等，进行倾斜角和斜率的转化.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、倾斜角互补
直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 时，则 ；
2、角度相等
当角度的公共边为 轴、 轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角
互补，斜率相加为零；
3、线段相等
等腰三角形的底边为 轴、 轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜
角互补，斜率相加为零；
4、角平分线
当角平分线为 轴、 轴或与之平行的线段时，则可以找到两条直线的倾斜角之间的关系，即倾斜角互补，
斜率相加为零；
【考点剖析】
考点一：倾斜角互补
例 1．已知椭圆 （ ）离心率等于 ，且椭圆 C 经过点 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 P 作倾斜角分别为 的两条直线 PA，PB，设 PA，PB 与椭圆 C 异于
点 P 的交点分别为 A，B，若 ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？如
果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.
【答案】(1) (2)直线 AB 的斜率是定值，为
解析：(1)因为椭圆 （ ）离心率等于 ，且椭圆 C 经过点 ，
所以 且 ，
解得 ，
所以椭圆 C 的方程为
(2)
由题意得，两条直线 PA，PB 的斜率均存在，且互为相反数，
设直线 为 ，则直线 为 ，
设 ，
将 代入 ，
得 ，
所以 ，所以 ，
同理可得 ，
所以
所以直线 AB 的斜率是定值，等于
变式训练 1：已知椭圆 ( )的离心率为 ，以原点 为圆心，以 的短半轴长为半
径的圆被直线 截得的弦长为 2.
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 的坐标为 ，直线 （不过原点 也不过点 ）交 于 两点，且直线 的倾斜角互补，
若点 是 的中点，求直线 的斜率.
解析：(1)由已知得， ，∴ ， ,
又原点 到直线 的距离为 ＝ ，
因此 ， ，
故椭圆 的方程为 ；
(2)由题意可得直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ，设 ， ， ， ，
由 可得 ，
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