《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第三讲：面积问题二（解析版）
第二讲：面积问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练
使用求解面积；
拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、面积范围
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数
均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
2、面积比值
通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行
坐标或向量进行求解.
【考点剖析】
考点一：三角形面积最值
例 1．已知椭圆 与 的正半轴交于点 ，且离心率 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 过点 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值并求此时的直线方程.
【答案】(1) ；(2) ；
解析：(1)椭圆 与 轴的正半轴交于点 ，则
，则
椭圆 的方程为:
(2)当直线 的斜率为 0 时， 三点共线，显然不满足题意.
当直线 的斜率不为 0 时，
设 代入 ，得到
设
令
令 ，在 单调递增，
当 为最大
，此时 的方程为:
变式训练 1：已知椭圆 与抛物线 有相同的焦点 .
(1)求椭圆的方程；
(2) 为坐标原点，过焦点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求 面积的最大值.
【答案】(1) ；(2)
解析：（1） 椭圆 与抛物线 有相同的焦点 ，
即 且 ，
，
椭圆的方程为： .
（2）由（1）可知 的坐标为 .
显然 的斜率不为 0.
设直线 的方程为： ，设 ， .
联立 ,可得 ,
恒成立，
， ,
,
.
当且仅当 ,即 时取等号,
面积的最大值为 .
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