《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第六讲：向量问题三（解析版）

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第四讲：向量问题（二）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表
示；
拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角
和钝角）.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的
计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置
关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用
向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。
1、在圆上
直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当 为直角时，则 ；
2、在圆内
直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当 为钝角时，则 ；
3、在圆外
直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当 为锐角时，则 ；
【考点剖析】
考点一：直径圆过定点（已知定点）
例 1．已知椭圆 的离心率 ，过点 和 的直线与原点的距离
为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点 ，若直线 与椭圆交于 两点，问：是否存在 的值，使以 为直
径的圆过 点？请说明理由.
【答案】(1) ；(2) 或
解析：(1)由已知可得， ，
过点 和 的直线方程为 ，即 ，
则 ，又 ，
联立解得 ．
椭圆的方程为 ；
(2)假设存在这样的 值，由 ，得 ．
①
设 ， ， ， ，则 ， ②
而 ，
要使以 为直径的圆过点 ，即 ，
则 ，即 ；
③
将 ② 式 代 入 ③ 整 理 即 ， 即 ， 解 得
或 ．
经验证， 或 使①成立．
故存在 或 ，使得以 为直径的圆过点 ．
变式训练 1：已知椭圆 的离心率 ，长轴的左右端点分别为 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)设动直线 与曲线 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，求证：以 为直径
的圆过定点 ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
解析：(1) 椭圆长轴端点在 轴上， 可设椭圆方程为 ，
由题意可得： ，解得： ， 椭圆 的方程为： ；
(2)由 得： ，
曲线 与直线 只有一个公共点， ，即 ，
设 ，则 ，
， ；
由 得： ，即 ；
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