《冲刺2023年高考数学压轴题》圆锥曲线专题复习第九讲：斜率问题一（原卷版）
第九讲：斜率问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质；
应用目标：掌握直线与椭圆，双曲线，抛物线的位置关系的判断，斜率的求解；
拓展目标：能够熟练应用点差法推导中点弦公式，并灵活应用中点弦和相关第三定义.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学
生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、直线与圆锥曲线的位置关系
设直线 ，圆锥曲线 ，把二者方程联立得到方程组，消去 得到
一个关于 的方程 .
（1）当 时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当 时，方程为一次方程，若 ，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若 ，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
2、圆锥曲线的中点弦问题
（1） 为椭圆 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 所在直线的
斜率为 ，弦 的斜率与弦中点 M和椭圆中心 O的连线的斜率之积为定值 .
（2）AB 为双曲线 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直
线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M和双曲线中心 O的连线的斜率之积为定值 .
（3）在抛物线 中，以 M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率 .
【考点剖析】
考点一：位置关系（交点个数）
例 1．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，过点 的直线 与抛物线
只有一个公共点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)求直线 的方程.
变式训练 1：已知 O，F 分别是抛物线 的顶点和焦点，动点 M 与点 O 的距离是它与点 F 的距离的一
半．
(1)求动点 M 的轨迹；
(2)若过点 的直线 l 与动点 M 的轨迹有且只有一个交点，求直线 l 的方程．
变式训练 2：已知双曲线 C： 的焦距为 4，且过点 .
(1)求双曲线方程；
(2)若直线 与双曲线 C 有且只有一个公共点，求实数 的值.
变式训练 3：在平面直角坐标系 中，已知点 到两点 的距离之和等于 ，设点
的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程.
（2）若直线 与曲线 有公共点，求实数 的取值范围.
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