《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点14 统计、概率、离散型随机变量及其分布列（解析版）

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专题 14 统计及统计案例、概率、随机变量及其分布列

易错分析

一、互斥事件与对立事件关系模糊致错

1．某省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想

政治、历史、地理、物理、化学、生物 6个等级考试科目中选取 3个作为选考科目．某考生已

经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的 5个等级考试科目中再选择 2个组成自己

的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为(　 )

A．相互独立事件 B．对立事件

C．不是互斥事件 D．互斥事件但不是对立事件

【错解】选 B，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，所以该

考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”是对立事件．

【错因】混淆互斥事件与对立事件概念

【正解】选 D，该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生，但能同

时不发

生，所以该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立

事件．

2、某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记 A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，

C=“至多订一种报”，D=“不订甲报”，E=“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？

如果是互斥事件，再判断是不是对立事件。

①A与C；② B与E；③ B与D；④ B与C；⑤ E与C

【错解】选①或③或④或⑤

【错因】两类事件的概念不清。

【正解】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件 A与事件 B

在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件 A与事件 B在一次实验中有且只有

一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，本题中

“至少订一种报”与“一种报也不订”不可能同时发生，但必有一个发生，所以选②。

二、使用概率加法公式忽略成立条件致错

3、抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字 1、2、3、4、5、6),事件 A表示“朝上一面的

数是奇数”,事件 B表示“朝上一面的数不超过 3”,求P(A∪B)．

【错解】因为 P(A)＝＝,P(B)＝＝,所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.

【错因】事件 A、B不是互斥事件,使用加法公式错误．注意，在应用公式 P(A∪B)＝P(A)＋

P(B)求解概率问题时,一定要注意分析事件是否互斥,若事件不互斥,可以转化为互斥事件,再用公

式．

【正解】将 A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件,记出现“1、2、3”为事件 C,出现“5”

为事件 D,则C与D两事件互斥,所以 P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.

三、求古典概型的概率基本事件重复或遗漏致错

3．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若 a∈{1,2,3}，b∈{0,1,2}，则该函数有两个极值点的

概率为(　　)

A. B.

C. D.

【错解】选C，f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程 f′(x)＝0有两个相异实根，

Δ＝(2a)2－4b2＞0，即 a＞b，有 a＝1，b＝0；a＝2，b＝1；a＝3，b＝0,1,2，

共有 5种，总的情况有 3×3＝9种，所以所求概率为＝.

【错因】a＝2，b＝1或0，有两种情况，错解中遗漏了一种情况。

【正解】选B　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知方程 f′(x)＝0有两个相异实根，

Δ＝(2a)2－4b2＞0，即 a＞b，有 a＝1，b＝0；a＝2，b＝0,1；a＝3，b＝0,1,2，

共有 6种，总的情况有 3×3＝9种，所以所求概率为＝.

4、从正六边形的 6个顶点中随机选择 4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率

等于(　 )

A. B. C. D.

【错解】选 A或B或C

【错因】用列举法列举基本事件时因重复或遗漏而错误

【正解】如图所示,从正六边形 ABCDEF 的6个顶点中随机选 4个顶点,可以看作随机选 2

个顶点,剩下的 4个顶点构成四边形,有

共15 种．若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有,

共3种,故其概率为＝.

5、箱子中有 6件产品,其中 4件正品,2 件次品,每次随机取出 1件检验,直到把所有次品检验

出停止,则检验 4次停止检验的概率为 .

【错解】

【错因】忽略前 4次全是正品的情况.

【正解】 .

四、对条件概率概念理解不透致错

6．已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置，

现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第 1次抽到螺口灯泡的条

件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为(　 )

A. B. C. D.

【错解】选 B，共有 12 只灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，共有种，则第1

次抽到螺口灯泡，第2次抽到卡口灯泡，共有种，则在他第 1次抽到螺口灯泡的

条件下，第2次抽到卡口灯泡的概率为。

【错因】没有理解条件概率，错解中误当成古典概型去求。注意，条件概率：设A，B是条件

S下的两个随机事件，，则称在事件 A发生的条件下事件 B发生的概率为条件

概率，记作，，其中表示事件 A与事件 B同时发生构造的

事件．

【正解】选C，设事件 A为第 1次抽到螺口灯泡，事件 B为第 2次抽到卡口灯泡，则在第 1次

抽到螺口灯泡的条件下，第 2次抽到卡口灯泡的概率 P(B|A)＝＝＝.

7．第一个袋中有黑、白球各2只，第二个袋中有黑、白球各3只．先从第一个袋中任取

一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则两次均取到白球的概率为(　 )

A. B. C. D.

【错解】选D，若从第一个袋中取的的是白球，则，若从第一个袋中取的的是黑

球，则，则两次均取到白球的概率为 .

【错因】对条件概率概念理解不透致错。

【正解】选B　记 Ai表示第 i次取到白球(i＝1,2)，则 P(A1)＝，P(A2|A1)＝.由乘法公式，得

P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝.

8、假定生男生女是等可能的，某家庭有3个孩子，其中有 1名女孩，则其至少有 1个男孩

的概率为．

【错解 1】此家庭有3个孩子共有（男，男，女），（女，女，男），（男，男，男），（女，

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