《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点12 直线及直线与圆位置关系（解析版）

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专题 12 解析几何

易错分析

一、使用两平行线间距离公式忽略系数相等致错

1．求两条平行直线 y=3x+5 与6x―2y+3=0 间的距离．

【错解】直线方程 y=3x+5 可化为 3x―y+5=0，

则直线 3x―y+5=0 与6x―2y+3=0 间的距离．

【错因】6x―2y+10=0 与6x―2y+3=0 中x、y的系数不对应相等，不能直接用公式。在使用两

条平行直线间的距离公式时，一定要注意：两条直线方程均为一般式，且 x、y的系

数对应相等，而不是对应成比例，因此当直线方程不满足此条件时，应先将方程变

形．

【正解】经变形得两条平行直线的方程为 6x―2y+10=0 和6x―2y+3=0，

故它们之间的距离为．

二、有关截距相等问题忽略截距为零致错

2、直线 l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,则直线 l的方程为

【错解】因为直线 l过点 ,且在两坐标轴上的截距相等,设直线 l的方程为 ,

则,所以 ,故直线 l的方程为 ,即.【答案】

。

【错因】错误原因是忽略直线 l过原点,截距为零的情况.

【正解】若直线 l过原点,满足题意,此时直线 l的方程为；

若直线 l不过原点,设直线 l的方程为 ,则,所以 ,

故直线 l的方程为 ,即.

综上，直线 l的方程为或 .

3．过点 M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．

【错解】设直线方程为＋＝1，即 x－y＝a，代入点(－3,5)，得 a＝－8，

即直线方程为 x－y＋8＝0. 答案：x－y＋8＝0

【错因】未考虑直线过原点的情况。

【正解】①当直线过原点时，直线方程为 y＝－x，即 5x＋3y＝0；

②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即 x－y＝a，

代入点(－3,5)，得 a＝－8，即直线方程为 x－y＋8＝0.

综上，直线方程为 5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.

三、已知两直线平行求参数的值未验证致错

4．已知直线 ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则 a的值为________．

【错解】令3×1＝a(a－2)，解得 a＝－1或a＝3. 答案：－1或3

【错因】未验证 a的值会不会使两直线平行。

【正解】令3×1＝a(a－2)，解得 a＝－1或a＝3.

当a＝－1时，两条直线的方程都为 x－3y－1＝0，即两条直线重合，故舍去；

当a＝3时，两条直线的方程分别为 3x＋3y＋1＝0，x＋y＋3＝0，两条直线平行．

∴a的值为 3.

四、未讨论参数的取值致错

5.已知直线：，：，，则“ ”是“

”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【错解】C，因为，则，即，解得，

所以“ ”是“ 或 ”的充要条件.

【错因】未考虑的情况，

【正解】A，（1）当时，因为，则，即，解

得，

（2）当时，直线的方程分别为，显然，

由上可知，若，则或，

所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.

五、误用点线距离公式致错

6.点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是 ( )

A．B．C．D．

【错解】由点到直线的距离公式知

C故选.

|11)1(11|







【错因】在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线 Ax+By+C=0 中，B 的取值，B 应取-1,而

不是取 1.

【正解】由点到直线的距离公式知

|1)1()1(11|

22 D故选





7. “ a=b” 是“直线

2 xy

与圆

)( ax 

相切的2)(

 by

( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【错解】当

ba 

时圆心坐标为

,),( aa 

圆心到直线的距离为

|2| 

 aa

与半径相等，

故

ba 

是直线和圆相切的充分条件，同理直线与圆相切时，

圆心

),( ba 

到

2 xy

的距离为，

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