《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点11 立体几何（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 10 4 777.73KB 11 页 3知币
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专题 11 立体几何
易错分析
一、混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系致错
1.如图，在正方体 中，E为 的中点．求直线 与平面 所成角的
正弦值．
【错解】（Ⅱ）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下
图所示的空间直角坐标系 ，设正方体 的棱长为
，则 、 、 、 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，
令 ，则 ， ，则 . .
则 ，因此，直线 与平面 所成角
的正弦值为 .
【错因】混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系，实际上直线与平面所成的角
的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即
。
【正解】
二、忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致错
2、如图所示的几何体是由棱台 ABC－A1B1C1和棱锥 D－AA1C1C拼接
而成的组合体,其底面四边形 ABCD 是边长为 2的菱形,且∠BAD=60°,
BB1⊥平面 ABCD,BB1=B1C1=1.求二面角 A1-BD-C1的余弦值.
【错解】设 交于点 ,以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴,如图建立空间直角坐
标系,轴显然平行于直 由四边形 ABCD 是边长为 2的菱形,且∠BAD=60°,得,
, ,
, , ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 令 ,得,从而
同理 ,
设平面 的一个法向量为 ,则
令,得,从而 ,则.
故二面角 的余弦值为 .
【错因】错误的认为两平面法向量的夹角就等于二面角平面角，实际上是二面角的平面角大小
是向量 n1与n2的夹角(或其补角)．
【正解】
三、忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错
3．在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线 BD1和B1C所成角的余
弦值为(　 )
A. B．－ C．－ D.
【错解】选 B，以点 D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则BD1＝(－1，－3,2)，
B1C＝(－1,0，－2)，从而 cos〈BD1，B1C〉＝BD1B1CBD1B1C＝＝
－.
【错因】两异面直线所成角的范围 ，而两向量夹角的范围为 ，错解中误认为两向
量夹角就是两异面直线所成角。
【正解】
四、忽视异面直线所成角的范围致错
4．直三棱柱 ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线 CE 与
C′A所成角的余弦值是（ ）
A． B．C．D．
【错解】A，如图所示，直三棱柱 向上方补形为直三棱柱 ，其中
， ， 分别为各棱的中点，取 的中点 ，可知 ，异面直线 与 所成角即
为 与 所成角.设 ，则 ， ， ，
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