《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点10 数列（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 13 4 595.19KB 16 页 3知币
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专题 10 数列
易错分析
一、利用 an＝Sn－Sn－1求通项公式忽视 n＝1致错
1、在数列 中 ， （ ），求 的通项公式．
【错解】由 得 ，两式相减得 ，整理得
，故 是以 ，
的
等比数列，即 ．
【错因】未对 进行验证．
【正解】由 得当 时， ，两式相减并整理得 （
）即 （ ），又由 得 ，由于
，
故数列 是从第二项起以 为公比的等比数列，故
二、忽视在数列中 n为正整数而致错
2．在数列－1,0，，，…，中，若 an＝0.08，则 n＝(　 )
A. B．8 C.或10　 D．10
【错解】由题意可得＝0.08，解得
n
＝10 或
n
＝．所以选 C。
【错因】在数列中 n 为正整数，不能取小数。
【正解】由题意可得＝0.08，解得
n
＝10 或
n
＝(舍去)．所以选 D。
三、等比数列问题中忽视对公比 的讨论致错
3．已知正项等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 7S2＝4S4，则等比数列{an}的公比 q的值为(
)
A．1 B．1或 C. D．±
【错解】因为 7S2＝4S4，所以 3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，所以 3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2.
因为 a1＋a2≠0，所以 q2＝. 所以 q＝±.故选 D.
【错因】审题不清，未考虑公比 的正负。
【正解】因为 7S2＝4S4，所以 3(a1＋a2)＝4(S4－S2)＝4(a3＋a4)，
所以 3(a1＋a2)＝4(a1＋a2)q2.因为 a1＋a2≠0，所以 q2＝.
因为{an}为正项等比数列，所以 q＞0，所以 q＝.故选 C.
4. 设 是等比数列 的前 n项和， ， ， 成等差数列，且 .则_
___.
【错解】由题知 ，整理得： .
∴ ，故 .
【错因】未考虑 的情况。
【正解】由题知： .
当 时，显然不成立，
当 时， ，整理得： .
∴ ，故 .
5、已知等差数列{an}的前 3项和为 6，前 8项和为－4，设 bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，
求数列{bn}的前 n项和 Sn.
【错解】由已知得 ，即 ，解得 a1＝3，d＝－
1，
所以 an＝4－n，
则bn＝n·qn－1，
所以 Sn＝1＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1， qSn＝1·q＋2·q2＋3·q3＋…＋n·qn，
两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＋n·qn＝ -n·qn.
所以 Sn＝ - .
【错因】未对 q＝1或q≠1 分别讨论．
【正解】设{an}的公差为 d，则由已知得 ，即 ，
解得 a1＝3，d＝－1，故 an＝3－(n－1)＝4－n. 则bn＝n·qn－1，
于是 Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，
(1) 若 q≠1，上式两边同乘以 q. qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn，
两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn＝ －n·qn.
所以 Sn＝ － ＝ .
(2)若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ ，
由上可知，所以 Sn＝.
四、使用错位相减法求和，两式相减时符号出错
6、设 为数列 的前 n项和，已知 ， ， ．求数列
的前 n项和．
【错解】令 ，得 ，即 ．因为 ，所以 ．
令 ，得 ，解得 ．
当 时，由 ， 两式相减得 ，
即 ．于是数列 是首项为 1，公比为 2的等比数列．因此
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