《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点09 平面向量与复数（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 13 4 246.03KB 12 页 3知币
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专题 09 平面向量与复数
易错分析
一、忽略向量共线致误
1、已知向量 的夹角为钝角，则实数 x的取值范围为________．
【错解】因为向量 的夹角为钝角，所以 ，
即 ，解得 ，
【 错 因 】 概 念 模 糊 ， 错 误 地 认 为 为 钝 角 ， 实 际 上 ， 为 钝 角
不共线 。
【正解】因为向量 的夹角为钝角，所以 且 不共线，
即 ，解得 ，
所以实数 x的取值范围为 。
2、已知 a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为 θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【错解】∵cos θ＝＝.因θ为锐角,有cos θ>0,
∴>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是.
【错因】当向量 a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足 cos θ>0,但不是锐角．
【正解】∵θ为锐角, 0<cos ∴θ<1.又∵cos θ＝＝,
∴0<且≠1, ,∴解得
∴λ的取值范围是.
二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,
只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则 且
存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
【错解】选 B或C或D
【错因】(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数 λ使得 b＝λa)中条件“a≠0”
的理解：当 a＝0时,a与任一向量 b都是共线的；当 a＝0且b≠0 时,b＝λa是不成立
的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求 a≠0.
换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数 λ使得 b＝λa”的必
要不充分条件．
(2)面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量
基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内
不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果 e1,e2是同一平面内
的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么 λ1＝λ2＝0.
【正解】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),
当a,b均为零向量时 可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时 不存在,
(3)是假命题；对于(4),只有 a,b为不共线向量时才成立.
三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量 两两夹角相等,则 的模为 .
【错解】因为单位向量 两两夹角相等,则夹角为 ,所以
+ = +
=0, 所以 的模为 0。
【错因】忽略了夹角为零度的情况
【正解】当 的夹角为 时 的模为 3,当 夹角为 时,
+ = +
=0, 的模为 0.
四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC 的边长为 1,则BC·CA＋CA·AB＋AB·BC＝________.
【错解】∵△ABC 为等边三角形, |∴BC|＝|CA|＝|AB|＝1,
向量AB、BC、CA间的夹角均为 60°.∴BC·CA＝CA·AB＝AB·BC＝.
∴BC·CA＋CA·AB＋AB·BC＝.
【错因】数量积的定义 a·b＝|a|·|b|·cos θ,这里 θ是a与b的夹角,本题中BC与CA夹角不是∠C.两
向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角 ,如图BC与CA的夹
角应是∠ACD.
【正解】BC与CA的夹角应是∠ACB 的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又|BC|＝|CA|＝|AB|
＝1,所以BC·CA＝|BC||CA|cos 120°＝－.同理得CA·AB＝AB·BC＝－.
故BC·CA＋CA·AB＋AB·BC＝－.
6、在 中,M是BC 的中点,AM=1,点P在AM 上且满足 ,则 等
于 （ ）
A． B. C. D.
【错解】由 知, P 为△ABC 的重心,根据向量的加法,,
则
=
【错因】 夹角是 ,不是 0.
【正解】由 知, P 为△ABC 的重心,根据向量的加法,,
则 =故选 A.
五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
① 若 a∥b,b∥c,则a∥c；
② 若 A,B,C,D是同一平面内的四点且AB=DC，则 ABCD 为平行四边形；
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