《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点08 三角函数与解三角形（解析版）

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专题 08 三角函数与解三角形

易错知识

1．对于有关三角函数求值的问题，要注意角的范围，尤其是利用条件缩小角的范围，

2．对于含有整数 k的问题，要注意对 k进行讨论，

3．三角函数图象左右平移是针对自变量 x的，

4. 对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负，

5. 对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性，

6. 逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，

易错分析

一、忽视角的范围致错

1．已知 α是第二象限角，sin α＝，则 cos α等于(　 )

A．－ B．－ C. D.

【错解】选D，因为，又 sin α＝，∴cos α＝＝.

【错因】没有注意条件 α是第二象限角，

【正解】选A　∵α是第二象限角，则 cos α>0

，

∴cos α＝－＝－.

2．已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈，则 sin θ－cos θ的值为________．

【错解】∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

∴sin θ－cos θ＝. 答案：

【错因】没有注意由条件 θ∈可得 sin θ<cos θ，

【正解】∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

又θ∈，∴sin θ<cos θ，∴sin θ－cos θ＝－. 答案：－

三角函数与解三角形

求值

忽视

角的

范围

含参

问题

忽视

对参

数的

讨论

混淆

三角

函数

图象

平移

规则

致错

忽视

三角

函数

的值

域致

错

复合

函数

忽视

内函

数自

变量

的符

号

开方

没考

虑正

负号

3．已知 θ∈(0，π)，tan＝，则 sin θ＋cos θ＝________.

【错解】由题知 tan＝＝⇒tan θ＝，又因为 θ∈(0，π)，

有

⇒或，

所以 sin θ＋cos θ＝或答案：或

【错因】没有注意由 tan θ＝>0 可以缩小角的范围，即可推出 θ∈，

【正解】由题知 tan＝＝⇒tan θ＝，又因为 θ∈(0，π)，且 tan θ>0，所以 θ∈，

有⇒所以 sin θ＋cos θ＝＝. 答案：

4．在△ABC 中，若 C＝3B，则的取值范围为(　 )

A．(0,3) B．(1,3) C．(1，) D．(，3)

【错解】选A　由正弦定理可得，＝＝＝＝

＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又0＜B＜180°，∴ cos2B1，又>0，∴0＜＜3.

【错因】忽略了 A＋B＋C＝180°及条件 C＝3B

，

【正解】选B　由正弦定理可得，＝＝＝＝

＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又A＋B＋C＝180°，C＝3B，

∴0°＜B＜45°，∴＜cos B＜1，∴1＜4cos2B－1＜3，即 1＜＜3.

二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负

5．化简：2＋＝(　 )

A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4

C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4

【错解】选D　原式＝2＋＝2＋2cos 4

＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4=2sin 4＋4cos 4.

【错因】开方时没有考虑 2cos 4、sin 4＋cos 4 的正负，

【正解】选B　原式＝2＋＝2＋2|cos 4|

＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，∵π＜4＜，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0，

∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.

6．若<θ<，则等于(　 )

A．sin B．cos

C．－sin D．－cos

【错解】选B　由二倍角公式得＝＝＝cos，

∴ ＝＝cos

【错因】没有用<θ<去求、的范围，

【正解】选A　∵<θ<，∴<<，<<，∴cos θ>0，cos<0，sin>0，

∴ ＝＝＝－cos，

∴ ＝＝＝sin.

三、三角函数图象左右平移时忽视自变量 x的系数致错

7．为了得到函数 y＝sin 的图象，可以将函数 y＝sin 2x的图象(　 )

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

【错解】选B 根据左加右减可知，为了得到函数 y＝sin 的图象，可以将函数 y＝sin 2x的图象

向右平移个单位．

【错因】图象左右平移针对的是自变量 x,

【正解】选A　∵函数 y＝sin＝sin，∴为了得到函数 y＝sin 的图象，可以将函数 y＝sin 2x的图

象向右平移个单位．

8．要得到 y＝cos 的图象，只需将 y＝sinx的图象(　 )

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【错解】选A　因为 y＝cos＝，故要得到 y＝cos 的图象，只需将函数 y＝sinx的

图象向左平移个单位．

【错因】函数图象平移变换时，没注意函数的名称是不一致的，不能直接进行平移，

【正解】选C　y＝cos＝sin＝sin，故要得到 y＝cos 的图象，只需将函数 y＝sinx的图象向左平

移个单位．

四、涉及到整数 k的问题，忽视对 k的讨论致错

9．已知角 α为第一象限角，则是第________象限角．

【错解】∵α是第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴kπ<<＋kπ，k∈Z，

则是第一象限角．答案：一

【错因】没有对 k分情况讨论，

【正解】∵α是第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴kπ<<＋kπ，k∈Z，

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