《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点07 导数及其应用（解析版）

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专题 07 导数及其应用

易错知识

1．混淆函数的单调区间与函数在区间上单调

2．求参数时忽略“＝”是否取到

3．错用复合函数的求导法则

4. 混淆在某点处的切线与过某点的切线

5. 由函数的极值求参数忽略验证

6.研究函数的性质、极值时，忽略定义域致错，

易错分析

一、忽视函数的定义域致错

1．函数 y＝－＋3ln x的单调递增区间为________．

【错解】由已知得 y′＝＋＝，令 >0，解得 x>－，故该函数的增区间为 .

【错因】没考虑函数 y＝－＋3ln x的定义域，

【正解】函数 y＝－＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝＋＝，令 >0，

解得 x>－，故函数的增区间为(0，＋∞).

二、复合函数求导运算不对致错

2．设函数 f(x)＝cos(x＋φ)，其中常数 φ满足－π<φ<0，若函数 g(x)＝f(x)＋f′(x)(其中 f′(x)是函

导数及其应用

混淆

在某

点处

的切

线与

过某

点的

切线

致错

已知

单调

性求

参数

取值

范围

忽视

等号

致错

混淆

极值

与最

值得

概念

致错

错用

复合

函数

求导

法则

致错

由函

数的

极值

求参

数时

忽略

验证

致错

数f(x)的导数)是偶函数，则 φ等于(　 )

A．－ B．－ C．－ D．

【错解一】选D　由题意得 f′(x)＝sin(x＋φ)，则 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)+sin(x＋φ)＝

2cos（x＋φ－），因为函数 g(x)为偶函数，所以 φ－＝kπ，k∈Z，解得 φ＝kπ＋，k∈Z，又－

π<φ<0，所以 φ＝.

【错解二】选C　由题意得 f′(x)＝－sin(x＋φ)，则 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝

cos（x＋φ＋），因为函数 g(x)为偶函数，所以 φ＋＝kπ，k∈Z，解得 φ＝kπ－

，k∈Z，又－π<φ<0，所以 φ＝－ .

【错因】f(x)的导函数求错，f′(x)=－sin(x＋φ)，

【正解】选A　由题意得 g(x)＝f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2cosx＋φ＋，

因为函数 g(x)为偶函数，所以 φ＋＝kπ，k∈Z，解得 φ＝kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以 φ＝－.

三、已知单调性求参数取值范围忽视等号致错

3．若函数 f(x)＝－x3＋ax2＋4x在区间(0,2)上单调递增，则实数 a的取值范围为(　 )

A. B.

C. D．(－∞，2)

【错解】选B　由 f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得 f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若 f(x)在区间(0,2)上单调递增，

则－3x2＋2ax＋4>0 在(0,2)上恒成立，即 a>－在(0,2)上恒成立．令 g(x)＝－，x∈(0,2)，则 g′(x)

＝＋>0，所以 g(x)在(0,2)上单调递增，故 g(x)<－＝2，故 a>2，故实数 a的取值范围为(2，＋

∞)．

【错因】若f(x)在区间(0,2)上单调递增，应令 f′(x)≥0 在(0,2)上恒成立．

【正解】选A　由 f(x)＝－x3＋ax2＋4x，得 f′(x)＝－3x2＋2ax＋4，若 f(x)在区间(0,2)上单调递

增，则－3x2＋2ax＋4≥0在(0,2)上恒成立，即 a≥－在(0,2)上恒成立．令 g(x)＝－，x∈(0,2)，

则g′(x)＝＋>0，所以 g(x)在(0,2)上单调递增，故 g(x)<－＝2，故 a≥2，故实数 a的取值范围

为[2，＋∞)．

四、混淆在某点处的切线与过某点的切线致错

4．过点(0，－1)且与曲线 y＝x－1＋相切的直线方程为________．

【错解】因为 y′＝1－，所以 y′＝1－，所以过切点(0，－1)的切线方程为

y－（－1）＝0(x－0)．即 y＝－1，所以所求的切线方程为 y＋1＝0.

【错因】混淆在某点处的切线与过某点的切线，本题是求过点(0，－1)的切线方程，

【正解】设切点为(x0，y0)，因为 y′＝1－，所以 y′＝1－，所以过切点(x0，y0)的切线方

程为 y－y0＝(x－x0)．因为切线过点(0，－1)，所以－1－y0＝ (0－x0)，即

－1－x0＋1－＝ (－x0)，解得 x0＝－1，故所求的切线方程为 y－(－1)＝(1－e)(x－0)，即切线方

程为(e－1)x＋y＋1＝0.

五、由函数的极值求参数取值时没有验证致错

5．已知函数 f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值 0，则 m＋n＝(　 )

A．4 B．11 C．4或11 D．3或9

【错解】选C　因为 f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意得

即解得或故 m＋n＝4或11.

【错因】没有把求出 m，n的值代会检验，

【正解】选B　因为 f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由题意得

即解得或

当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不合题意，舍掉；

当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，令 f′(x)>0，得 x<－3或x>－1；令 f′

(x)<0，得－3<x<－1.所以 f(x)在(－∞，－3)，(－1，＋∞)上单调递增，

在(－3，－1)上单调递减，符合题意．则 m＋n＝2＋9＝11.

六、混淆函数的单调区间与函数在区间上单调致错

6．已知函数 f(x)＝ln x＋x2＋ax 的单调递减区间为，则(　 )

A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3

C．a＝3 D．a∈(－∞，3]

【错解】选A　因为 f′(x)＝＋2x＋a

，

又f(x)＝ln x＋x2＋ax 的单调递减区间为，所以 f′(x)＝

＋2x＋a≤0在区间上恒成立，即不等式 a≤－2x－在区间上恒成立，令 g(x)＝－2x－，易知

g(x)在区间上单调递增，在上单调递减，又 g＝g(1)＝－3，所以 g(x)>－3，则 a≤－3.

【错因】混淆函数的单调区间与函数在区间上单调，

【正解】选B　因为 f′(x)＝＋2x＋a

，

又f(x)＝ln x＋x2＋ax 的单调递减区间为，即f′(x)＝＋

2x＋a<0 的解集为，所以不等式 2x2＋ax＋1<0 的解集为，所以，1是

2x2＋ax＋1=0 的两根，所以＋1＝－，解得 a＝－3.

7.已知函数 f(x)＝ln x＋x2＋ax 在区间上单调递减，则(　 )

A．a∈(－∞，－3] B．a＝－3

C．a＝3 D．a∈(－∞，3]

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