《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数（解析版）

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专题 06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数

易错知识

1．对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围；

2．在对数式中，要注意真数是大于零的；

3．函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念；

4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论；

易错分析

一、对数函数中忽视对底数的讨论致错

1．已知函数 f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且 a≠1)，若 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立，则实数 a的取

值范围是__________．

【错解】已知 f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立，

知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且 8－2a>0，解得 1<a<.故实数 a的取值范围是.

【错因】没有对底数 a进行分情况讨论，

【正解】当a>1 时，f(x)＝loga(8－ax)在[1,2]上是减函数，由 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立，

知f(x)min＝f(2)＝loga(8－2a)>1，且 8－2a>0，解得 1<a<.

当0<a<1 时，f(x)在[1,2]上是增函数，由 f(x)>1 在区间[1,2]上恒成立，知 f(x)min＝f(1)＝

loga(8－a)>1，且 8－2a>0.解得 a>4，且 a<4，故不存在．

综上可知，实数 a的取值范围是.

二、忽视对数式中真数大于零致错

2．函数 y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是______．

【错解】令g(x)＝x2＋2x－3，则函数 g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，

指数函数、对数函数、幂函数、二次函数

忽视

对底

数的

讨论

致错

对数

式中

忽视

真数

大于

零致

错

混淆

单调

区间

和在

区间

上单

调致

错

使用

换元

法忽

视新

变量

范围

致错

忽视

对高

次项

系数

的讨

论致

错

再根据复合函数的单调性，可得函数 y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(－1，＋∞)．

【错因】没有保证对数式中真数大于零，

【正解】由题意，函数 y＝log5(x2＋2x－3)满足 x2＋2x－3>0，解得 x<－3或x>1，即函数

y＝log5(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．令 g(x)＝x2＋2x－3，则函数 g(x)

在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数

y＝log5(x2＋2x－3)的单调递增区间是(1，＋∞)．

3．已知函数 f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且 a≠1)在区间上单调递增，则 a的取值范围为(　 )

A. ∪[2，＋∞) B.∪(1,2]

C.∪[2，＋∞) D．∪(1,2]

【错解】选A　当 0<a<1 时，由复合函数单调性知函数 u＝ax2－2x＋5在上单调递减且 u>0 恒

成立，所以，解得 0<a≤；

当a>1 时，由复合函数单调性知函数 u＝ax2－2x＋5在上单调递增且 u>0 恒成立，所以

，解得 a≥2.综上，a的取值范围为 ∪[2，＋∞)．

【错因】没有保证对数式中真数大于零，

【正解】选C　当 0<a<1 时，由复合函数单调性知函数 u＝ax2－2x＋5在上单调递减且 u>0 恒

成立，所以解得≤a≤；当 a>1 时，由复合函数单调性知函数 u＝ax2－2x＋5在上单调递增且

u>0 恒成立，所以解得 a≥2.综上，a的取值范围为∪[2，＋∞)．

三、忽视高次项系数的讨论致错

4．函数 f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数 a的值为(　 )

A．－ B．0 C. D．0或－

【错解】选A　若 f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程 ax2－x－1=0 有且仅有一个根，

则Δ＝1＋4a＝0，解得 a＝－.

【错因】没有对二次项系数 a分情况讨论，

【正解】选D　若 f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则方程 ax2－x－1=0 有且仅有一个根，

当a＝0时，f(x)＝－x－1，令 f(x)＝0得x＝－1，故 f(x)只有一个零点为－1.

当a≠0时，则 Δ＝1＋4a＝0，解得 a＝－.综上有 a＝0或－.

5．若函数 f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数 a的取值范围是(　 )

A. B.

C. D．

【错解】选C　函数 f(x)的对称轴为直线 x＝－，因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以 a<0，

且－≥4，解得－≤a<0.故选 C.

【错因】没有对二次项系数 a分情况讨论，

【正解】选D　当 a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域 R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调

递增；当 a≠0时，二次函数 f(x)的对称轴为直线 x＝－，因为 f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以

a<0，且－≥4，解得－≤a<0.综上所述，得－≤a≤0.故选 D.

四、指数函数中忽视对底数的讨论致错

6．若函数 f(x)＝a (a>0 且a≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数 a的取值范围为(　 )

A．(1,2) B．(0,1) C．(1,4] D．(－∞，4]

【错解】选D　在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可

知，f(x)在上单调递增，在上单调递减，因为函数 f(x)在(1,3)上单调递增，所以，解得

a≤4.所以 a的取值范围为(－∞，4]．

【错因】没有对底数 a进行分情况讨论，

【正解】选C　根据复合函数的单调性可知，当 0<a<1 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，

因为函数 f(x)在(1,3)上单调递增，所以无解﹔当a>1 时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，因

为函数 f(x)在(1,3)上单调递增，所以解得 1<a≤4.所以 a的取值范围为(1,4]．

五、幂函数中忽视定义域致错

7．已知幂函数 f(x)＝x，若 f(a＋1)<f(10－2a)，则 a的取值范围为________．

【错解】∵f(x)＝x＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴ ，

解得 3＜a. 答案：(3,＋∞)．

【错因】没有考虑函数的定义域，

【正解】∵f(x)＝x＝(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴

解得 3＜a＜5. 答案：(3,5)

六、使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错

8．(注意新元的取值范围)已知函数 y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则 x可能的取值范围是(

)

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