《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点05 函数概念及其性质（解析版）

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专题 05 函数概念及其性质

易错知识

1．使用换元法求解析式、求函数值域时，容易忽略引入新变量的取值范围致错；

2．求函数值域、求函数的单调区间、判断函数的奇偶性时，容易忽略函数的定义域致错；

3．研究分段函数的单调性时，容易忽略端点值的大小致错；

4．求定义域中有零的奇函数解析式时，容易忽略自变量 0的函数值；

5. 处理函数的单调性问题时，容易忽略混淆“单调区间”和“在区间上单调”而致错；

6. 有关复合函数的问题，弄不清自变量而致错；

易错分析

一、求函数的单调区间忽视定义域致错

1．函数 y＝的单调递减区间为(　 )

A. B.

C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]

【错解】选A　令 t＝x2＋3x，y＝是由 y＝与 t＝x2＋3x复合而成

，又

外层函数 y＝在[0，＋∞)

上单调递增，内层函数 t＝x2＋3x在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数同增异减的

原则可知，函数 y＝的单调递减区间为．

【错因】没有考虑函数 y＝的定义域，

【正解】选D　由题意，x2＋3x≥0，可得 x≤－3或x≥0，函数 y＝的定义域为

(－∞，－3]∪[0，＋∞)．令 t＝x2＋3x，则外层函数 y＝在[0，＋∞)上单调递增，内层函数

t＝x2＋3x在(－∞，－3]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以，函数 y＝的单调递减区

间为(－∞，－3]．

函数概念及其性质

忽视

函数

的定

义域

致错

分段

函数

的单

调性

忽视

高端

点值

致错

使用

换元

法忽

视新

变量

范围

致错

搞不

清复

合函

数自

变量

致错

忽视

零点

存在

性定

理使

用范

围致

错

二、判断函数的奇偶性忽视定义域致错

2．判断函数 f(x)＝的奇偶性：

【错解】

，所以函数 f(x)＝为偶函数。

【错因】没有考虑函数 f(x)＝的定义域，

【正解】因为 f(x)有意义，则满足≥0，所以－1<x≤1，所以 f(x)的定义域不关于原点对称，

所以 f(x)为非奇非偶函数．

三、有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错

3．设函数 f(x)＝则使得 f(x)≥1的自变量 x的取值范围为__________．

【错解】由已知及 f(x)≥1 可得．(x＋1)2≥1 或4－≥1，

由(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，由 4－≥1，即≤3，所以 1≤x≤10.

综上所述，x∈[1,10]．

【错因】没有考虑函数 f(x)＝的定义域，

【正解】因为 f(x)是分段函数，所以 f(x)≥1应分段求解．

当x<1 时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，所以 x≤－2或0≤x<1.

当x≥1时，f(x)≥1⇒4－≥1，即≤3，所以 1≤x≤10.

综上所述，x∈(－∞，－2]∪[0,10]．

四、有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错

4．设 a∈R，已知函数 y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且 f(a＋1)>f(2a)，则 a的取值范围

是(　 )

A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．C．（1，＋∞)

【错解】∵y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且 f(a＋1)>f(2a)，∴a＋1<2a，解得 1<a，选 D.

【错因】没有考虑函数 y＝f(x)的定义域，

【正解】∵函数 y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且 f(a＋1)>f(2a)，∴－4≤a＋1<2a≤4，

解得 1<a≤2，故选 C.

五、有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错

5. 已知函数 f(x)＝在 R上单调递增，则实数 a的取值范围为________．

【错解】要使 f(x)在R上单调递增，必须满足：f(x)在(－∞，1)上单调递增，

f(x)在(1 ，＋ ∞ )上单调递增；又 x≥1时，

，作出大致图象如图所示．结合

图象可知 a≤1,故实数 a的取值范围为(－∞，1].

【错因】没有考虑端点值 2与的大小关系，

【正解】要使 f(x)在R上单调递增，必须满足三条：第一条：f(x)在(－∞，1)上单调递增；

第二条：f(x)在(1，＋∞)上单调递增；第三条：(x2－2ax)|x＝1≥(x＋1)|x＝1.

作出大致图象如图所示．结合图象可知解得 a≤－.

故实数 a的取值范围为.

六、有关奇函数的解析式忽视自变量 0的函数值致错

6．已知定义在 R上的奇函数 f(x)，当 x>0 时，f(x)＝x2＋x－1，则函数 f(x)的解析式为_______．

【错解】设x<0，则－x>0，由题意可知 f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，

因为 f(x)是R上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1.

综上所述，

【错因】没有考虑自变量 0的函数值，

【正解】设x<0，则－x>0，由题意可知 f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，

因为 f(x)是R上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1，且 f(0)＝0.

综上所述，f(x)＝

七、使用换元法忽视新变量的取值范围致错

7．若 f(2x)＝4x－2x，则 f(x)＝________.

【错解】由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设 t＝2x，则 f(t)＝t2－t，所以 f(x)＝x2－x.

【错因】没有考虑2x的取值范围，因为 2x大于零，所以 t大于零，

【正解】由题意，f(2x)＝4x－2x＝(2x)2－2x，设 t＝2x>0，则 f(t)＝t2－t，t>0，所以 f(x)＝x2－

x，x>0.

八、忽视零点存在性定理前提条件而致错

8．对于函数 f(x)，若 f(－1)f(3)<0，则(　 )

A．方程 f(x)＝0一定有实数解 B．方程 f(x)＝0一定无实数解

C．方程 f(x)＝0一定有两实根 D．方程 f(x)＝0可能无实数解

【错解】因为 f(－1)f(3)<0，由零点存在性定理知函数 f(x)在(－1,3)上必有零点，

故方程 f(x)＝0一定有实数解，所以选 A。

【错因】零点存在性定理要求 f(x)的图象在区间[a，b]上连续。

【正解】选D　因为函数 f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管 f(－1)f(3)<0，

但方程 f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解．

9．若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　 )

A．若 f(a)f(b)>0，则不存在实数 c∈[a，b]，使得 f(c)＝0

B．若 f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数 c∈[a，b]，使得 f(c)＝0

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