《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点04 一元二次不等式及一元二次方程（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 18 4 421.79KB 13 页 3知币
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专题 04 一元二次不等式、一元二次不等式
易错知识
1．解分式不等式时要注意分母不能为零；
2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零；
3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭；
4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；
5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；
易错分析
一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错
1．不等式≤1的解集是________．
【错解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得 x≤－1或x≥1，所以原不等
式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}．
【错因】因为 x＋1为分母，所以 x＋1不等于零。
【正解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得 x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得 x＝1或x<－1或
x>1，得 x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}．
二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
2.若不等式 mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意 x都成立，则实数 m的取值范围是(　 )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足
解得－2＜m＜2.综上知实数 m的取值范围是(－2,2)，
一元二次不等式、一元二次不等式
分式
不等
式忽
视分
母不
为零
解一
元二
次不
等式
忽视
二次
项系
数的
正负
一元
二次
方程
根的
分布
条件
列举
不全
解一
元二
次不
等式
忽视
两根
的大
小关
系
一元
二次
不等
式恒
成立
忽视
区间
的开
闭
选A．
【错因】没有对二次项系数 m讨论。
【正解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为 4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2.
综上知实数 m的取值范围是(－2,2]．选 C
提示：当不等式中最高项的系数含有参数时，要对其分情况讨论，不是见参就讨论，比如下面
这个题目是不用讨论的。
例：若关于 x的不等式 x2－2ax＋18>0 恒成立，则实数 a的取值范围为________．
解析：由题意有 4a2－4×18<0，可得－3<a<3. 实数 a的取值范围为(－3，3)。
三、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
3．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　 )
A. B.
C．{x|x≤或x≥2}．D．
【错解】由(x－2)(3－2x)≥0 解得 x≤或x≥2，故不等式的解集为.选C　
【错因】“大于号取两边，小于号取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零，
【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.选B　
四、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
4．当 1≤x≤3时，关于 x的不等式 ax2＋x－1<0 恒成立，则实数 a的取值范围是(　 )
A．(－∞，－]B.
C. D．
【错解】当1≤x≤3 时，由 ax2＋x－1<0 恒成立可得，a<2－恒成立，令 f(x)＝2－＝2－，则当 x＝2
时，f(x)min＝－，所以 a≤－,选A。
【错因】因为 1≤x≤3，即 x可以取到端点值，所以 2－可以取到－，则 a<－，不能取等号。
【正解】当1≤x≤3 时，由 ax2＋x－1<0 恒成立可得，a<2－恒成立，令 f(x)＝2－＝2－，则当 x＝2
时，f(x)min＝－，所以 a<－.选B。
5．若不等式 x2－tx＋1<0 对一切 x∈(1,2)恒成立，则实数 t的取值范围为(　 )
A．(－∞，2) B.
C．[1，＋∞) D．
【错解】因为不等式 x2－tx＋1<0 对一切 x∈(1,2)恒成立，所以 t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，
由对勾函数的性质可知函数 y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当 x＝2时，y＝2＋＝，所以 x＋
<，故实数 t的取值范围是 t>.选B.
【错因】因为 x∈(1,2)，即x取不到端点值，故实数 t的取值范围是 t≥.
【正解】因为不等式 x2－tx＋1<0 对一切 x∈(1,2)恒成立，所以 t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，
由对勾函数的性质可知函数 y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当 x＝2时，y＝2＋＝，所以 x＋
<，即 x＋取不到端点值，故实数 t的取值范围是 t≥.选D。
五、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
6． 若方程 x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于 2，则 m的取值范围是________．
【错解】设方程 x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为 则 ，
则 ，即 ，即
解得 m<－4，故 m的取值范围是(－∞，－4)．
【错因】条件 不能推出 ，例如 时，满足 ，
但 。
【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为 x＝，
由题意得，即
解得－5<m≤－4，故 m的取值范围是(－5，－4]．答案：(－5，－4]
六、解一元二次不等式时忽视两根大小而致错
7．解关于 x的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【错解】原不等式可化为 (x－1)<0(a>0).解得<x<1，
则该不等式的解集为.
【错因】没有考虑与1的大小关系，
【正解】由a>0，知原不等式等价于 (x－1)<0.
①当 a＝1时，＝1， (x－1)<0 无解；
②当 a>1 时，<1，得<x<1；
③当 0<a<1 时，>1，得 1<x<.
综上，当 0<a<1 时，不等式解集为；当 a＝1时，不等式解集为∅；
当a>1 时，不等式解集为.
【提示】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式 Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
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