《备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）》易错点03 不等式性质与基本不等式（解析版）

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专题 03 不等式性质与基本不等式

易错知识

1．不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致错。

2．在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质导致范围扩大而致错。

3．有关含有参数的不等式问题中，忽略参数的取值范围而致错。

4. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——

积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

易错分析

一、忽视字母的取值范围而致错

1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（）

A．若，，则； B．若，则；

C．若，则； D．若，，则 .

【错解】对于 A，若，当时，则，故 A错误；对于 B，若，则；故B

对；对于 C，若，可得，所以，故 C正确；对于 D，若，，则

，故 D正确.所以选 BCD。

【错因】选项 B是错的，忽略了的情况。

【正解】

不等式性质与基本不等式

忽视

集合

中元

素的

特性

忽视

高次

项的

系数

忽视

列举

法中

代表

元素

范围

忽

视

空

集

忽视

一元

二次

方程

的判

别式

【答案】CD

【解析】对于 A，若，当时，则，故 A错误；对于 B，若，当时，

，故 B错误；对于 C，若，可得，所以，故 C正确；对于 D，若

，，则，故 D正确.

2．(多选)下列说法中正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若且，则

【错解】对于 A 中，若，当时，则，所以 A 不正确；对于 B 中，若，

根据不等式的性质，可得，所以 B 正确；对于 C 中，由，可得，再根据不

等式的性质可得，所以 C 正确；对于 D 中，若，可得，由，可得

，所以 D 正确。所以选 BCD。

【错因】选项 C中，没有考虑 c的正负而致错。

【正解】

【答案】BD

【解析】对于 A中，若，当时，则，所以 A不正确；对于 B中，若，

根据不等式的性质，可得，所以 B正确；对于 C中，由，可得，又由，

根据不等式的性质，可得，所以 C正确；对于 D中，若，可得，由

，可得，所以 D正确。

二、多次运用不等式性质而致错

1、已知，，求的取值范围.

【错解】因为，，两式相加得，所以，

因为，，两式相加得，所以，

所以，即。

【错因】根据已知条件单独求出 a,b 各自的范围，会导致它们的范围变大。

【正解】

【答案】

【解析】令 .

∴ ,解得 ,∴ .

∵ ，∴ .,又，

∴.故的取值范围为 .

三、忽视不等式中高次项的系数

1．若不等式 mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意 x都成立，则实数 m的取值范围是(　 )

A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]

【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.

由题意知必须满足解得－2＜m＜2

.综上知实数 m的取值范围是(－2,2）．选 A

【错因】没有对二次项系数 2－m讨论。

【正解】

【答案】C

【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.

当m＝2时，不等式为 4＞0，该不等式恒成立；

当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2

.综上知实数 m的取值范围是(－2,2]．

五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，

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