《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第22讲 导数的应用（学生版）

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第22讲 导数的应用
真题展示
2022 新高考一卷第 22 题
已知函数 和 有相同的最小值．
（1）求 ；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
试题亮点
试题落实了高考评价体系中“一核四层四翼”的总要求，题目简洁，函数
类型也是考生非常熟悉的，体现了基础性，有利于增强学生解决困难问题的信
心和决心．但考生上手做题后就会发现，试题的设计常规中又蕴含很多的创新 ，
因而考生会产生似曾相识但难以入手的感觉，需要在解题过程中综合运用所学
知识不断发现，逐步推进试题有效考查了考生推理论证、运算求解等关键能力 ，
考查了考生对数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法的理解与掌握 ，
对学生思维的灵活性、严谨性、创新性提出了较高的要求.试题计算量很小，重
思维，解答长度适中，设计由浅入深，层次分明，内涵丰富，重点突出，很好
地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程
度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查考生进一步学习的潜能，有利于
人才选拔，对中学数学教学具有较好的引导作用.
知识要点整理
常用结论
⑴ ，变形即为 ，其几何意义为 上的的点与原点连线斜率
小于 1.
⑵
⑶
⑷.
导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数 .
（1）当 时，求函数 在区间 上的最小值；
（2）当 时，曲线 在点 处的切线为 ， 与 轴交于点 求证：
.
2.已知函数 其中
⑴当 时，求曲线 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
sin 1
x
xsin , (0, )y x x
 
1
x
e x 
ln( 1)x x 
ln , 0
x
x x e x 
axxf 2
)(
1a)()( xxfxg ]1,0[
0a)(xfy )))((,( 111 axxfxP
l l
x
)0,( 2
xA
axx 21
2 2
( ) ( 2 3 ) ( ),
x
f x x ax a a e x   RaR
0a( ) (1, (1))y f x f在点
⑵当 时，求函数 的单调区间与极值.
3.已知函数
⑴设两曲线 有公共点，且在公共点处的切线相同，若 ，试建立 关于 的函
数关系式，并求 的最大值；
⑵若 在(0,4)上为单调函数，求 的取值范围。
4.设函数 ．
(1)讨论函数 在定义域内的单调性；
(2)当 时，任意 ， 恒成立，求实数 的取值
范围．
5.已知二次函数 对 都满足 且 ，设函数
2
3
a( )f x
2 2
1
( ) 2 , ( ) 3 ln .
2
f x x ax g x a x b 
( ) ( )y f x y g x 与0a
b a
b
[0, 2], ( ) ( ) ( ) (2 )b h x f x g x a b x  
a
2
2 1
( ) (2 ) ln ( 0)
ax
f x a x a
x
 
( )f x
( 3, 2)a  1 2
, [1,3]x x 1 2
( ln 3) 2 ln 3 | ( ) ( ) |m a f x f x   m
( )g x
x R 
2
( 1) (1 ) 2 1g x g x x x 
(1) 1g 
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