《备战2023年高考数学二轮复习对点题型探究重点突破（新高考专用）》第22讲 导数的应用（教师版）

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第22讲 导数的应用
真题展示
2022 新高考一卷第 22 题
已知函数 和 有相同的最小值．
（1）求 ；
（2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【思路分析】（1）先对两个函数求导，然后研究函数 和 的单调性，从
而求得 和 的零点，进而得到函数的极小值(最小值)，然后列出方程求得
的值；
（2）设三个交点的横坐标从小到大依次为 ， ， ，得到有关 ， ， 的方
程，然后化简利用函数 的单调性求得 ， 和 的数量关系，进而得证命题．
【解答】（1）解： ， ，
， ，
在 上单调递增，函数 在 上单调递增，
函数 和函数 在各自定义域上单调递增，
又 函数 和 有最小值，
当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
， ，
函数 和 有相同的最小值
，即 lna=，lna+ −1=0,
记F(x)= lnx+ −1 (x>0) ，则 (x)= >0，故 F(x)在
x>0 上增，又 F(1)=0，
故F(a)=0 有唯一解 a=1.∴a=1.
（2）证明：由(1)知f(x)= x，g(x)= x−lnx，(x)= −1, (x)=1− (x>0)，
f(x)在(−∞, 0)上减，在(0,+∞)上增，f(x)最小值是 f(0)=1；
g(x)在(0,1)上减，在(1,+∞)上增，g(x)最小值是 g(1)=1，
如图，对于函数 f(x)，当 x>0 时，函数值从最小值 1逐渐增大到+∞；对于函
数g(x)，当 0<x<1 时，函数值从+∞逐渐减少到最小值 1，故必然存在 ∈(0,1)，
使得 f(x)=g(x)。
下证存在唯一的 ∈(0,1)，使得 f(x)=g(x)。
由f(x)=g(x)有+lnx−2x=0，
设G(x)= +lnx−2x(x>0)，则 (x)= + −2(x>0)，
若x≥1，则 (x)≥e+ −2> >0；若 0<x<1，则 (x)> + −2= −1>0，
故(x)>0 对x>0 恒成立，∴G(x)在x>0 上单调递增，
又G(1)=e+0−2>0, G( )= +ln − < −2− < −2<0，
∴存在唯一的 (0,1)∈，使得 G( )=0，即方程 f(x)=g(x)有唯一的解
∈(0,1)。
由图知当 b= f( )=g( )时，直线 y=b 与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有三个不
同的交点；
当1<b<f( )或b>f( )时，直线 y=b 与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有四个不同
的交点；
当b=1 时，直线 y=b 与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有 2个不同的交点；
当b<1 时，直线 y=b 与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)没有交点。
取b=f( )=g( )时，直线 y=b 与两条曲线 y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交
点，作出直线 y=b，y=f(x)和y=g(x)的草图，设直线 y=b 与两条曲线 y=f(x)和
y=g(x)的三个交点的横坐标从小到大依次为 ， ， ，
由（1）得，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， ， ，
， ， ，
， ，
， ，
， ， ， ， ，
， ， ， 成等差数列，
存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左
到右的三个交点的横坐标成等差数列．
【试题评价】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点 ，
解题的关键是利用函数的单调性求得 、 和 的数量关系．
试题亮点
试题落实了高考评价体系中“一核四层四翼”的总要求，题目简洁，函数
类型也是考生非常熟悉的，体现了基础性，有利于增强学生解决困难问题的信
心和决心．但考生上手做题后就会发现，试题的设计常规中又蕴含很多的创新 ，
因而考生会产生似曾相识但难以入手的感觉，需要在解题过程中综合运用所学
知识不断发现，逐步推进试题有效考查了考生推理论证、运算求解等关键能力 ，
考查了考生对数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法的理解与掌握 ，
对学生思维的灵活性、严谨性、创新性提出了较高的要求.试题计算量很小，重
思维，解答长度适中，设计由浅入深，层次分明，内涵丰富，重点突出，很好
地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程
度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查考生进一步学习的潜能，有利于
人才选拔，对中学数学教学具有较好的引导作用.
知识要点整理
常用结论
⑴ ，变形即为 ，其几何意义为 上的的点与原点连线斜率
小于 1.
sin 1
x
xsin , (0, )y x x
 
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